前置點1：平行線內錯角定理
前置點2：三角函式奇偶性，即: $ \cos (-\theta)=\cos \theta, \enspace \sin (-\theta)=-\sin \theta $
如上圖，
設\(AB\)為1，四邊形\(ADEF\)為正方形，\(\Delta ABC\)為直角三角形。
設 \(\angle CAB\)為 \(\alpha\)，\(\angle CAD\) 為 \(\beta\) 。
因為\(EF\)平行於\(AD\)， \(\angle BAD\) 與 \(\angle ABE\) 互為平行線內錯角.
據前置點1，\(\angle ABE =\angle BAD= \alpha+\beta\) 。
\[\begin{eqnarray}
標一:\enspace \cos \beta=\frac{AD}{\cos \alpha}
\\ \\
AD=\cos \beta \cos \alpha
\\ \\ \\
標二:\enspace \sin \beta=\frac{CD}{\cos \alpha}
\\ \\
CD=\sin \beta \cos \alpha
\\ \\ \\
標三:\enspace \angle ACD+\angle A C B+\angle F C B=180^{\circ}
\\ \\
\because \angle A C D=\left(90^{\circ}-\beta\right)
\\
\angle ACB=90^{\circ}
\\
\left(90^{\circ}-\beta\right)+90^{\circ}+\angle F C B=180^{\circ}
\\
\therefore \quad \angle FCB=\beta
\\ \\
\sin \beta=\frac{F B}{\sin \alpha}
\\ \\
FB=\sin \alpha \sin \beta
\\ \\ \\
旗一: \enspace
\cos\beta=\frac{FC}{\sin\alpha}
\\ \\
FC=\sin\alpha\cos\beta
\\ \\ \\
旗二: \enspace AE=FD=CF+CD
\\ \\
結果1: \enspace \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta + \sin\beta\cos\alpha
\\ \\
\sin(\alpha-\beta)=\sin[\alpha+(-\beta)]=\sin\alpha\cos(-\beta)
+\sin(-\beta)\cos\alpha
\\ \\
據前置點2:
\\
結果2: \enspace \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha
\\ \\ \\
旗三: \enspace EB=AD-FD
\\ \\
結果3: \enspace \cos(\alpha+\beta)=\cos\beta\cos\alpha-\sin\alpha\sin\beta
\\ \\
\cos(\alpha-\beta)=\cos[\alpha+(-\beta)]=\cos(-\beta)\cos\alpha
-\sin \alpha \sin (-\beta)
\\ \\
結果4: \enspace \cos(\alpha-\beta)=\cos\beta\cos\alpha+\sin\alpha\sin\beta
\end{eqnarray}
\]