- 知識點1：三角函式奇偶性： \(\sin(-\theta)=-\sin\theta, \quad \cos(-\theta)=\cos\theta\)
如上圖：
單位半圓的半徑為1，\(\triangle AOB\)為等腰三角形。
點\(C\)為線段\(AB\)之中點，連線\(CO\)。
根據等腰三角形的性質，\(OC\) 是 \(△AOB\) 的角平分線和垂直平分線。
\(OC\) 垂直於 \(AB\)，\(OC\) 將 \(△AOB\) 的頂角 \(∠AOB\) 平分。
角度引數
\[\begin{align}
設\angle AOP=\alpha
\\
設\angle BOP=\beta
\\
則\angle AOB=\alpha-\beta
\\ \\
\angle BOC=\angle A O C =\frac{\alpha-\beta}{2}
\\
\angle POC=\beta+\frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{\alpha+\beta}{2}
\end{align}
\]
極座標壹
\[\begin{align}
標一:
\\
在 \triangle AOA_{x},\quad OA_{x}=\cos \alpha
\\
AA_{x}=OAy=\sin \alpha
\\ \\
標二:
\\
在 \triangle BOB_{x}, \quad OB_{x}=\cos \beta,
\\
BB_{x}=OB_{y}=\sin \beta
\\ \\
C_{x}O-OA_{x}=OB_{x}-C_{x}O
\\
2C_{x}O=OA_{x}+OB_{x}=\cos \alpha+\cos \beta
\\
C_{x}O=\frac{\cos \alpha+\cos \beta}{2}
\\ \\
標三: \\
O A_{y}-C_{y} O=C_{y} O-O B_{y}
\\ \\
2 C_{y} O=O A_{y}+O B_{y}=\sin \alpha+\sin \beta
\\ \\
C_{y} O=\frac{\sin \alpha+\sin \beta}{2}
\\ \\
轉化為極座標:\\
C_{1}\left(C_{x} O, C_{y} O\right) \Rightarrow
\left(\frac{\cos \alpha+\cos \beta}{2},
\enspace
\frac{\sin \alpha+\sin \beta}{2}\right)
\end{align}
\]
極座標貳
\[\begin{align}
在 \triangle AOC
\\
\cos\frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{CO}{OA}
\\
CO=\cos\frac{\alpha-\beta}{2}
\\ \\ \\
在\triangle COC_{x}
\\ \\
\cos\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{C_{x}O}{CO}=\frac{C_{x}O}{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}
\\ \\
C_{x}O=\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}
\\ \\ \\
在\triangle COCx
\\
\sin\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{CC_{x}}{CO}
=\frac{CC_{x}}{\cos \frac{\alpha-\beta}{2}}
\\ \\
CyO=CC_{x}=\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2}
\\ \\
轉化為極座標:
\\
C_{2}(C_{x}O,CC_{x})\Rightarrow(\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2},
\enspace
\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2})
\end{align}
\]
公式結論組
\[\begin{align}
兩個極座標相等: \enspace C_{1}=C_{2}
\\ \\
\frac{\cos\alpha+\cos\beta}{2}=\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}
\\
結論組1.0: \enspace \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}
\\ \\
\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{2}=\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2}
\\
結論組1.1: \enspace \sin\alpha+\sin\beta=2\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2}
\\
\end{align}
\]