1. 拉格朗日多項式插值

1. 瞭解概念
   插值多項式
   插值節點
   範德蒙特(Vandermonde)行列式
   截斷誤差、插值餘項

2. 特點

3. 函式實現

    function y=lagrange(x0,y0,x)
    n=length(x0);m=length(x);
    for i=1:m
        z=x(i);
        s=0.0;
        for k=1:n
            p=1.0;
            for j=1:n
                if j~=k
                    p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
                end
            end
            s=p*y0(k)+s;
        end
        y(i)=s;
    end
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設n個節點資料以陣列x0,y0輸入（注意Matlat的陣列下標從1開始），m個插值點以陣列x 輸入，輸出陣列y為m個插值。
則可用y = lagrange(x0,y0,x)呼叫。

2. 牛頓（Newton）插值

1. 瞭解概念
   差商
   差分
   等距節點插值公式(Newton向前插值公式)
2. 特點
   每增加一個節點，插值多項式只增加一項，因而便於遞推運算。而且 Newton 插值的計算量小於Lagrange 插值。
3. 函式實現

3. 分段線性插值

1. 瞭解概念
   插值多項式的振盪

2. 特點
   將每兩個相鄰的節點用直線連起來，如此形成的一條折線就是分段線性插值函式。它是為了解決高次插值多項式的缺陷：隨著插值次數n增加，雖然誤差減小，但插值函式光滑性變壞，有時會出現很大的振盪。
   實際上用函式表作插值計算時，分段線性插值就足夠了，如數學、物理中用的特殊函式表，數理統計中用的概率分佈表等。

3. 函式實現
   一維插值函式interp1：y=interp1(x0,y0,x,'method')

    method 指定插值的方法，預設為線性插值。其值可為：
    'nearest' 最近項插值
    'linear' 線性插值
    'spline' 逐段3次樣條插值
    'cubic' 保凹凸性3次插值。
    所有的插值方法要求 x0 是單調的。
    當 x0 為等距時可以用快速插值法，使用快速插值法的格式為'*nearest'、'*linear'、'*spline'、'*cubic'。
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4. 埃爾米特(Hermite)插值

1. 瞭解概念

2. 特點
   如果對插值函式，不僅要求它在節點處與函式同值，而且要求它與函式有相同的一 階、二階甚至更高階的導數值，這就是Hermite 插值問題。
   這裡主要討論在節點處插值函式與函式的值及一階導數值均相等的Hermite 插值。

3. 函式實現
   設n個節點的資料以陣列x0（已知點的橫座標）， y0（函式值）， y1（導數值）輸入（注意Matlat 的陣列下標從1 開始），m 個插值點以陣列x 輸入，輸出陣列y 為m個插值。

    function y=hermite(x0,y0,y1,x)
    n=length(x0);m=length(x);
    for k=1:m
        yy=0.0;
        for i=1:n
            h=1.0;
            a=0.0;
            for j=1:n
                if j~=i
                    h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
                    a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
                end
            end
            yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));
        end
        y(k)=yy;
    end
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5. 樣條插值

1. 瞭解概念
   樣條函式 關於分劃Δ的k次樣條函式 k次樣條曲線 樣條節點 內節點 邊界點 k次樣條函式空間 二次樣條函式 三次樣條函式

2. 特點
   有些問題對插值函式的光滑性有較高要求，要求曲線具有較高的光滑程度，不僅要連續，而且要有連續的曲率，這就導致了樣條插值的產生。

3. 函式實現

                                        y=interp1(x0,y0,x,'spline')；
                                        y=spline(x0,y0,x)；
                                        pp=csape(x0,y0,conds)，y=ppval(pp,x)。
                                        其中 x0,y0 是已知資料點，x 是插值點，y 是插值點的函式值。
    對於三次樣條插值，我們提倡使用函式 csape，csape 的返回值是pp 形式，要求插值點的函式值，必須呼叫函式ppval。
    pp=csape(x0,y0)：使用預設的邊界條件，即Lagrange 邊界條件。
    pp=csape(x0,y0,conds)中的conds 指定插值的邊界條件，其值可為：
    'complete' 邊界為一階導數，即預設的邊界條件
    'not-a-knot' 非扭結條件
    'periodic' 週期條件
    'second' 邊界為二階導數，二階導數的值[0, 0]。
    'variational' 設定邊界的二階導數值為[0,0]。
    對於一些特殊的邊界條件，可以通過 conds 的一個1×2矩陣來表示，conds 元素的
    取值為1，2。此時，使用命令
    pp=csape(x0,y0_ext,conds)
    其中y0_ext=[left, y0, right]，這裡left 表示左邊界的取值，right 表示右邊界的取值。
    conds(i)=j 的含義是給定端點i 的j 階導數，即conds 的第一個元素表示左邊界的條
    件，第二個元素表示右邊界的條件，conds=[2,1]表示左邊界是二階導數，右邊界是一階
    導數，對應的值由left 和right 給出。
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4. 例題

    已知函式y=(x^2+2x+3)e^(-2x)，給定x的取值從0到1步長為0.1的資料點，用三次樣條函式求該函式在區間[0，1]上的積分。
   
    x0 = 0:0.1:1;   
    y0 = (x0.^2+2*x0+3).*exp(-2*x0);
    pp = csape(x0,y0);           %進行三次樣條插值
    sy = fnint(pp);              %求樣條函式的積分函式，結果為pp資料結構
    I = ppval(sy,1)-ppval(sy,0)  %求樣條函式積分的值
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6. B樣條函式插值方法

1. 瞭解概念
   磨光函式
   等距B樣條函式
   一維等距B樣條函式插值 二維等距B樣條函式插值

2. 特點
   實際中的許多問題，往往是既要求近似函式（曲線或曲面）有足夠的光滑性，又要求與實際函式有相同的凹凸性，一般插值函式和樣條函式都不具有這種性質。如果對於一個特殊函式進行磨光處理生成磨光函式（多項式），則用磨光函式構造出樣條函式作為插值函式，既有足夠的光滑性，而且也具有較好的保凹凸性，因此磨光函式在一維插值（曲線）和二維插值（曲面）問題中有著廣泛的應用。

3. 函式實現

7. 二維插值

1. 瞭解概念
   插值節點為網格節點
   插值節點為散亂節點

2. 特點

3. 函式實現

插值節點為網格節點

二次樣條插值：z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method')
其中 x0,y0分別為m維和n維向量，表示節點，z0為n × m維矩陣表示節點值，x,y為一維陣列表示插值點x與y應是方向不同的向量，即一個是行向量，另一個是列向量，z為矩陣，它的行數為y的維數，列數為x的維數，表示得到的插值，'method'的用法同上面一維插值。
三次樣條插值：pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds)，z=fnval(pp,{x,y})
其中 x0,y0 分別為m 維和n維向量，z0 為m × n 維矩陣，z 為矩陣，它的行數為x的維數，列數為y的維數，表示得到的插值，使用方法同一維插值。

插值節點為散亂節點

已知n個節點：(x , y , z )(i 1,2, ,n) i i i = L ，求點(x, y)處的插值z：
ZI = GRIDDATA(X,Y,Z,XI,YI)
其中X、Y、Z 均為n 維向量，指明所給資料點的橫座標、縱座標和豎座標。向量XI、YI是給定的網格點的橫座標和縱座標，返回值ZI為網格（XI，YI）處的函式值。XI與YI應是方向不同的向量，即一個是行向量，另一個是列向量。

最小二乘法的Matlab 實現

1. 解方程組方法 A = R \Y

    x=[19 25 31 38 44]';
    y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]';
    ab=r\y
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2. 多項式擬合方法 a=polyfit(x0,y0,m)
   其中輸入引數x0,y0 為要擬合的資料，m 為擬合多項式的次數，輸出引數a 為擬合多項式y=amxm+…+a1x+a0 係數a=[ am, …, a1, a0]。
   多項式在x 處的值y可用y=polyval(a,x)計算。

最小二乘優化

在Matlab 優化工具箱中，用於求解最小二乘優化問題的函式有：lsqlin、lsqcurvefit、lsqnonlin、lsqnonneg

1. lsqlin 函式
   x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
2. lsqcurvefit 函式
   X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,LB,UB,OPTIONS)
3. lsqnonlin 函式
   X=LSQNONLIN(FUN,X0,LB,UB,OPTIONS)
4. lsqnonneg 函式
   X = LSQNONNEG(C,d,X0,OPTIONS)