插值技術研究

過取樣與欠取樣&影像重取樣（上取樣&下采樣）
研究影像插值技術：2016年蘇州大學的鐘寶江等人《影像插值技術綜述》^[1]

影像插值利用影像已知取樣點的灰度值估計未知取樣點的灰度值，是影像資料的一種生成過程 。 影像插值的目的在於透過升取樣的方式提高影像的解析度。

插值分類

線性插值

1. 最鄰近插值

取待插值點周圍４個相鄰畫素點中歐式距離最短的一個鄰點的灰度值作為該點的灰度值。

2. 雙線性插值

插值原理是待插點畫素值取原影像中與其相鄰的4個點畫素值的水平、垂直兩個方向上的線性內插，即根據待取樣點與周圍4個鄰點的距離確定相應的權重，從而計算出待取樣點的畫素值。
^[2]
remark: 雙線性插值對於不在網格點上的待插值點有效，對於高度向稀疏所要補全的點都是在網格上的，則與一般的線性插值無區別。

3. 雙三次插值

原理是利用以取樣點為中心的4×4鄰域內的16個已知畫素點的灰度值來估計取樣點的灰度值。雙三次插值法不僅考慮到4個直接相鄰點的灰度影響，而且考慮到各鄰點間灰度值變化率的影響。
檢視MATLAB的函式imresize()，支援三種線性插值方法^[3]:

非線性插值

1. 基於小波係數的插值

基本思想是將訊號分解到不同的 尺度或者解析度層上，這樣可以在不同的尺度上獨立的對訊號進行研究和分析。

2. 基於邊緣資訊的插值

多項式插值（線性插值的推廣^[4]）

定義：多項式插值是線性插值的推廣。線性插值是一個線性函式，我們現在用一個更高階的多項式代替這個插值。
優點：一般情況下，如果我們有n個資料點，那麼在所有的資料點中只有一個最多n-1次多項式可以完美擬合。此外，插值是一個多項式，因此是無限可微的。所以我們看到多項式插值克服了線性插值的大部分問題。
侷限：與線性內插相比，計算內插多項式的成本是昂貴的。此外，多項式插值可能會出現振盪偽像，特別是在端點（高次插值會產生龍格現象^[5]，當點數n 增大（次數m=n-1 也增大）時，有時會在兩端產生激烈的震盪，出現函式不收斂的現象，即在兩端處波動極大,產生明顯的震盪）

1. 牛頓插值法

牛頓插值法透過計算差商確定多項式函式的係數^[6]。



實驗結果：


相比線性插值，牛頓插值也沒有展現更多特別的優勢和好處。

3. Sinc插值^[7]

參考：

---

1. 鍾寶江,陸志芳,季家歡.影像插值技術綜述[J].資料採集與處理,2016,31(06):1083-1096. ↩︎

2. 雙線性插值(Bilinear Interpol)原理及應用 ↩︎

3. https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/imresize.html#d126e730731 ↩︎

4. 線性插值 多項式插值 樣條插值 牛頓插值總結 ↩︎

5. 什麼是龍格現象(Runge phenomenon)？如何避免龍格現象？ ↩︎

6. 數值分析（一） 牛頓插值法及matlab程式碼 ↩︎

7. 數字影像處理（九）插值演算法之二 ↩︎