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已知 a₀ = 1 - 1/e, a_n = 1 - na_n-1 (n > 0)，我們有：

a₀ = -(1/e - 1)
a₁ = +(1/e - 0)
a₂ = -(2/e - 1)
a₃ = +(6/e - 2)
a₄ = -(24/e - 9)
a₅ = -(120/e - 44)
a₆ = -(720/e - 265)

顯然

a_n = (-1)ⁿ⁺¹(n!/e - b_n)

利用 1,0,1,2,9,44,265 在 OEIS 上搜尋，得到 OEIS A000166，因此：

a_n = (-1)ⁿ⁺¹(n!/e - !n)

其中：

因此：

而最後一行的表示式收斂極快，於是我們可以用以下 C 語言程式來計算 a₉₉₉：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double a(int n)
{
  double v = 0, t = 1;
  for (n++; t != 0; n++) t /= n, v += t, t = -t;
  return v;
}

int main(void)
{
  double v = 1 - 1 / M_E;
  for (int i = 1; i <= 1000; v = 1 - i++ * v)
    if (i < 5 || (i > 15 && i < 23) || i > 998)
      printf("a(%3d): %.12lf %16.12lf\n", i-1, a(i-1), v);
}

執行結果：

a(  0): 0.632120558829   0.632120558829
a(  1): 0.367879441171   0.367879441171
a(  2): 0.264241117657   0.264241117657
a(  3): 0.207276647029   0.207276647029
a( 15): 0.059017540879   0.059033793642
a( 16): 0.055719345931   0.055459301730
a( 17): 0.052771119169   0.057191870597
a( 18): 0.050119854958  -0.029453670752
a( 19): 0.047722755796   1.559619744279
a( 20): 0.045544884076 -30.192394885584
a( 21): 0.043557434408 635.040292597259
a(998): 0.001000000999             -inf
a(999): 0.000999001995              inf

參考資料

1. OEIS A000166: Subfactorial or rencontres numbers, or derangements: number of permutations of n elements with no fixed points.
2. Wolfram MathWorld: Subfactorial