python 計算 sin 值

概述

當角（弧度描述）x足夠小時，sin(x)約等於x，而已知三角等式sin(x) = 3 sin(x/3) - 4 sin^3(x/3) ，用 python 語言計算任意大的弧度角的sin值

實現

可以利用給定的三角恆等式

[
\sin(x) = 3 \sin\left(\frac{x}{3}\right) - 4 \sin^3\left(\frac{x}{3}\right)
]

來遞迴地計算任意弧度角的正弦值。當 ( x ) 足夠小時，可以直接近似 ( \sin(x) \approx x )。我們可以設定一個小的閾值，當 ( x ) 小於這個閾值時，直接返回 ( x ) 的近似值，否則使用公式遞迴求解。

下面是使用 Python 實現該演算法的程式碼：

import math

def sin_custom(x, epsilon=1e-6):
    # 當 x 足夠小時，使用近似 sin(x) ≈ x
    if abs(x) < epsilon:
        return x
    # 使用遞迴公式計算 sin(x)
    else:
        sin_x_div_3 = sin_custom(x / 3, epsilon)
        return 3 * sin_x_div_3 - 4 * sin_x_div_3 ** 3

# 測試
angle = 10  # 任意大的弧度角
print(f"sin({angle}) ≈ {sin_custom(angle)}")
print(f"math.sin({angle}) = {math.sin(angle)}")  # 用 math.sin 比較

解釋

1. epsilon 是一個小值，用於判斷 ( x ) 是否足夠小以直接使用近似值 ( \sin(x) \approx x )。
2. 當 ( x ) 大於 epsilon 時，利用公式遞迴計算 ( \sin(x) )。
3. 最終輸出遞迴計算的結果，並用 math.sin 比較結果。