看見微軟的圖示我就想到了它~

演算法推薦管發表於2021-10-29
微軟

首先，我們來看兩張圖，不知道你有沒有發現這個圖和微軟的圖示好像啊~~~~
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問題描述

有一個 NxN 整數矩陣，請編寫一個演算法，將矩陣順時針旋轉90度。

要求：時間複雜度O(N2)，空間複雜度是O(N2)。

進階：時間複雜度是O(N^2)，空間複雜度是O(1)

示例：

[                                                       [     
  [ 5, 1, 9,11],                旋轉90度後                  [15,13, 2, 5],
  [ 2, 4, 8,10],              ============>                [14, 3, 4, 1],
  [13, 3, 6, 7],                                           [12, 6, 8, 9], 
  [15,14,12,16]                                            [16, 7,10,11]
]                                                        ]

分析問題

對於矩陣中的第一行元素來說，在經過90度旋轉後，出現在了倒數第一列的位置上，如下圖所示。

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並且，第一行的第 i 個元素在旋轉後恰好是倒數第一列的第 i 個元素。對於第二行的元素也是如此，在旋轉後變成倒數第二列的元素，並且第二行的第i個元素在旋轉後恰好是倒數第二列的第i個元素。所以，我們可以得出規律，對於矩陣中第 i 行的第 j 個元素，在旋轉後，它出現在倒數第 i 列的第 j 個位置，即對於矩陣中的 matrix[i] [j] 元素，在旋轉後，它的新位置為 matrix [j] [n-i-1]。

所以，我們申請一個大小為 n * n 的新矩陣，來臨時儲存旋轉後的結果。我們通過遍歷matrix中的所有元素，根據上述規則將元素存放到新矩陣中的對應位置。在遍歷完成後，再將新矩陣中複製到原矩陣即可。下面我們來看一下程式碼實現。

class Solution(object):
    def rotate(self, matrix):
        """
        :type matrix: List[List[int]]
        :rtype: None Do not return anything, modify matrix in-place instead.
        """
        #矩陣的大小
        n = len(matrix)
        #申請一個輔助矩陣
        temp = [[0] * n for _ in range(n)]
        #遍歷矩陣中的所有元素，放到輔助矩陣的相應位置中
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                temp[j][n - i - 1] = matrix[i][j]
                
        #將輔助矩陣複製給矩陣
        matrix[:] = temp

該演算法的時間複雜度是O(N2)，空間複雜度O(N2)。

進階

那我們如何在不使用輔助空間的情況下，實現矩陣的原地旋轉呢？我們來看一下方法一中為什麼要引入輔助空間，對於matrix中的元素，我們使用公式temp[j] [n - i - 1] = matrix[i] [j]進行旋轉，如果不申請輔助矩陣，我們直接把元素 matrix[i] [j]，放到矩陣 matrix[j] [n - i - 1]位置，原矩陣中的matrix[j] [n - i - 1]元素就被覆蓋了，這顯然不是我們要的結果。

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當知道了如何原地旋轉矩陣之後，這裡還有一點需要明確：我們應該選取哪些位置進行上述的原地交換操作呢？通過上面的分析可以知道，一次可以原地交換四個位置，所以：

  1. 當n為偶數時，我們需要選取 n^2 / 4 = (n/2) * (n/2)個元素進行原地交換操作，可以將該圖形分為四塊，可以保證不重複、不遺漏旋轉所有元素；
  2. 當n為奇數時，由於中心的位置經過旋轉後位置不變，我們需要選取 (n^2-1)/4=(n-1)/2 * (n+1) /2個元素進行原地交換操作，我們以5*5的矩陣為例，可以按照以下方式劃分，進而保證不重複、不遺漏的旋轉所有元素。

image-20211025183007908.png

下面我們來看一下程式碼的實現。

class Solution(object):
    def rotate(self, matrix):
        #矩陣的大小
        n = len(matrix)
        for i in range(n // 2):
            for j in range((n + 1) // 2):
                #進行一輪原地旋轉，旋轉4個元素
                temp = matrix[i][j]
                matrix[i][j] = matrix[n - j - 1][i]
                matrix[n - j - 1][i] = matrix[n - i - 1][n - j - 1]
                matrix[n - i - 1][n - j - 1] = matrix[j][n - i - 1]
                matrix[j][n - i - 1] = temp

該演算法的時間複雜度是O(n^2)，空間複雜度是O(1)。

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