輾轉相除法與更相減損術（求最大公約數）

輾轉相除法：兩個正整數a和b（a>b），它們的最大公約數等於a除以b的餘數c和b之間的最大公約數。比如10和25，25除以10商2餘5,那麼10和25的最大公約數，等同於10和5的最大公約數。

以上程式碼存在取模運算，大資料較大時，其效率較差

 

更相減損術：兩個正整數a和b（a>b），它們的最大公約數等於a-b的差值c和較小數b的最大公約數。比如10和25，25減去10的差是15,那麼10和25的最大公約數，等同於10和15的最大公約數。

以上程式碼避免了大整數取模的效能問題，但是其依靠兩數求差的方式來遞迴，運算次數大於輾轉相除法，比如計算10000和1，就要遞迴9999次

 

把輾轉相除法與更相減損術的優勢結合起來，在更相減損術的基礎上使用移位運算

眾所周知，移位運算的效能非常快。對於給定的正整數a和b，不難得到如下的結論。其中gcb(a,b)的意思是a,b的最大公約數函式：

當a和b均為偶數，gcb(a,b) = 2*gcb(a/2, b/2) = 2*gcb(a>>1, b>>1)

當a為偶數，b為奇數，gcb(a,b) = gcb(a/2, b) = gcb(a>>1, b)

當a為奇數，b為偶數，gcb(a,b) = gcb(a, b/2) = gcb(a, b>>1)

當a和b均為奇數，利用更相減損術運算一次，gcb(a,b) = gcb(b, a-b)， 此時a-b必然是偶數，又可以繼續進行移位運算。

比如計算10和25的最大公約數的步驟如下：

1. 整數10通過移位，可以轉換成求5和25的最大公約數
2. 利用更相減損法，計算出25-5=20，轉換成求5和20的最大公約數
3. 整數20通過移位，可以轉換成求5和10的最大公約數
4. 整數10通過移位，可以轉換成求5和5的最大公約數
5. 利用更相減損法，因為兩數相等，所以最大公約數是5

在兩數比較小的時候，暫時看不出計算次數的優勢，當兩數越大，計算次數的節省就越明顯。

 

 

 

1.暴力列舉法：時間複雜度是O(min(a, b)))

2.輾轉相除法：時間複雜度不太好計算，可以近似為O(log(max(a, b)))，但是取模運算效能較差。

3.更相減損術：避免了取模運算，但是演算法效能不穩定，最壞時間複雜度為O(max(a, b)))

4.更相減損術與移位結合：不但避免了取模運算，而且演算法效能穩定，時間複雜度為O(log(max(a, b)))