輾轉相除法

輾轉相除法又稱歐幾里德演算法，是指用於計算兩個正整數a，b的最大公因數的一種演算法。

廣泛應用於數學和計算機兩個方面。

計算公式：gcd(a, b) = gcd(b, a%b)。

高一數學必修三就有講了，學起來也很簡單啦……

輾轉相除法的一些特點

• 以除法為主。
• 兩整數差值較大時運算次數較少。
• 相除餘數為0時得到結果。
• 是迴圈表示的遞推式子，也可以遞迴實現。

輾轉相除法的證明

設兩數為a, b(a>b)，用gcd(a, b)表示a, b的最大公約數，r=a (mod b) 為a除以b的餘數，k為a除以b的商，即a÷b=kr。輾轉相除法即是要證明gcd(a,b)=gcd(b,r)。

第一步:令c=gcd(a,b)，則設a=mc，b=nc。

第二步:根據前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c。

第三步:根據第二步結果可知c也是r的因數。

第四步:可以斷定m-kn與n互質(假設m-kn=xd，n=yd (d>1)，則m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，則a=mc&#