前言
- 這兩種方法都是用來求兩個數的最大公約數，但是從時間複雜度的角度來講，輾轉相除法的效率會高於更相減損術，尤其是在兩數相差比較大的時候。
- 兩者證明方法類似，但因為更相減損術的證明更為簡單，並且有了其基礎也能更快地去理解輾轉相除法，故先證明更相減損術。
更相減損術的證明：
更相減損術是出自《九章算術》的一種求最大公約數的演算法，它原本是為約分而設計的，但它適用於任何需要求最大公約數的場合。——百度百科
Description:
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\[\forall a,b\in \mathbb{N},a\geq b\:\Rightarrow gcd(a,b)=gcd(b,a-b)=gcd(a,a-b) \]
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\[\forall a,b\in \mathbb{N}\:\Rightarrow gcd(2a,2b)=2\cdot gcd(a,b) \]
前置芝士：
- \(a|b\) 表示 \(a\) 為 \(b\) 的約數。
- \(gcd(a,b)\) 表示 \(a,b\) 的最大公約數。
- \(a\:mod\:b\) 表示 \(a\) 除以 \(b\) 取餘數。
證明：
- 顯然，根據最大公約數的定義，後者是成立的，主要證明前者。
- 對於 \(a,b\) 的任意公約數 \(d\) ，因為 \(d|a,d|b\) ，所以 \(d|(a-b)\) 。（不妨設 \(a=x\cdot d,b=y\cdot d\) ，那麼 \(a-b=x\cdot d-y\cdot d=(x-y)\cdot d\) ，顯然 \((x-y)\cdot d\) 是 \(d\) 的倍數）
- 因為 \(d\) 是任意取的，所以可以取到整個 \(a,b\) 的公約數集合。故 \(a,b\) 的公約數集合與 \(b,a-b\) 的公約數集合相同，於是他們的最大公約數自然也相等。對於 \(a,a-b\) 同理。
證畢。
輾轉相除法的證明：
輾轉相除法，即歐幾里得演算法，同樣是一種用來求兩個數的最大公約數的演算法，但是要比更相減損術更加高效。
Description:
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\[\forall a,b\in \mathbb{N},b\neq 0\Rightarrow gcd(a,b)=gcd(b,a\:mod\:b) \]
前置芝士：
- 熟悉更相減損術的證明以及取模運算的意義。
證明：
- 若 \(a<b\) ，則 \(gcd(b,a\:mod\:b)=gcd(b,a)=gcd(a,b)\) ，命題得證。
- 若 \(a\geq b\) ，則不妨設 \(a=q\times b+r\) ，其中 \(0\leq r<b\) ，顯然 \(r=a\:mod\:b\) 。對於 \(a,b\) 的任意公約數 \(d\) ，因為 \(d|a,d|(q\times b)\) ，所以 \(d|(a-q\times b)\) ，即 \(d|r\) ，因此 \(d\) 也是 \(b,r\) 的公約數。
- 故 \(a,b\) 的公約數集合與 \(b,a\:mod\:b\) 的公約數集合相同，於是他們的最大公約數自然也相等。
證畢。
2021年1月17日
——pycr