C語言 用更相減損術求最大公約數，最小公倍數

更相減損術
更相減損術是出自《九章算術》的一種求最大公約數的演算法，它原本是為約分而設計的，但它適用於任何需要求最大公約數的場合。

出處
《九章算術》
用途
求最大公約數
作用
適用任何需要求最大公約數的場合

思想
《九章算術》是中國古代的數學專著，其中的“更相減損術”可以用來求兩個數的最大公約數，原文是：
可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。

白話文譯文：
（如果需要對分數進行約分，那麼）可以折半的話，就折半（也就是用2來約分）。如果不可以折半的話，那麼就比較分母和分子的大小，用大數減去小數，互相減來減去，一直到減數與差相等為止，用這個相等的數字來約分。

使用步驟
第一步：任意給定兩個正整數；判斷它們是否都是偶數。
若是，則用2約簡；見例2
若不是則執行第二步。見例1
第二步：以較大的數減較小的數，接著把所得的差與較小的數比較，並以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的減數和差相等為止。
則第一步中約掉的若干個2與第二步中等數的乘積就是所求的最大公約數。
其中所說的“等數”，就是最大公約數。求“等數”的辦法就是“更相減損”法。
簡述為：
有兩整數a和b：

① 若a>b，則a=a-b

② 若a<b，則b=b-a

③ 若a=b，則a（或b）即為兩數的最大公約數

④ 若a≠b，則再回去執行①

例如求27和15的最大公約數過程為：

27－15＝12( 15>12 ) 15－12＝3( 12>3 )

12－3＝9( 9>3 ) 9－3＝6( 6>3 )

6－3＝3( 3==3 )，多次重複輾轉相減，(重複操作用迴圈) 若a=b，則a（或b）即為兩數的最大公約數。
先有個大概的瞭解，再結合程式碼，來細細體會。

#include<stdio.h> 
main()
{	int a,b,num1,num2;
	printf("請輸入這兩個數：");
	scanf("%d %d",&a,&b);
	num1=a,num2=b;//在判斷之前先把a,b存放在num1,num2裡，求最小公倍數 
	//	printf("a、b的最小公倍數為:%d",num1*num2/a);錯在哪兒？錯在最小公倍數的演算法不知道 
	while(a!=b)/* a, b不相等，大數減小數，直到相等為止。*/ 
	{
	if(a>b)
	a-=b;
	else
	b-=a;
	}//a==b結束迴圈，根據更相減損術，若a==b,則a（或b）即為兩數的最大公約數。
	printf("a、b的最大公約數為:%d\n",a);
	printf("a、b的最小公倍數為:%d",num1*num2/a);//最小公倍數=兩整數的乘積÷最大公約數
}

知識小補丁：
求最小公倍數演算法：
最小公倍數=兩整數的乘積÷最大公約數

求最大公約數演算法：
(1)輾轉相除法

#include <stdio.h>
//程式分析：利用輾除法。
int main()
{   int a,b,num1,num2,temp;
	printf("please input two number:\n");
	scanf("%d%d",&num1,&num2);
	if(num1<num2)//比較大小，大做分母，小做分子
    {   temp = num1;//這是兩個數比大小的經典演算法
		num1 = num2;
		num2 = temp;
	}
	a = num1;//小者給a
	b = num2;//大者給b
	while(b!=0)/*利用輾除法，直到b為0為止*/
	{   temp = a%b;//這是重複取餘的操作
		a=b;
		b=temp;
	}
	printf("公約數:%d\n",a);
	printf("公倍數:%d\n",num1*num2/a);
}

利用輾除法求最大公約數和最小公倍數：https://blog.csdn.net/YJG7D314/article/details/86760128

(2)更相減損術
例1、用更相減損術求98與63的最大公約數。
解：由於63不是偶數，把98和63以大數減小數，並輾轉相減：
98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以，98和63的最大公約數等於7

例2、用更相減損術求260和104的最大公約數。
解：由於260和104均為偶數，首先用2約簡得到130和52，再用2約簡得到65和26。
此時65是奇數而26不是奇數，故把65和26輾轉相減：
65-26=39
39-26=13
26-13=13
所以，260與104的最大公約數等於13乘以第一步中約掉的兩個2，即1322=52。