Kruskal 重構樹

\(Kruskal\) 重構樹

解決的基本問題：一張圖中 \(u\) 到 \(v\) 路徑上最大邊的最小值。

構建：在從小到大加邊的過程中，如果 \(u\), \(v\) 不在一個並查集中，就建立一個新的節點 \(X\)，並將 \(fu\) 和 \(fv\) 分別作為 \(X\) 的左右兒子， \(X\) 的點權就是這條邊的邊權。這樣樹，我們稱為 \(Kruskal\) 重構樹。

\(Kruskal\) 重構樹有如下重要性質：

• \(Kruskal\) 重構樹是一顆二叉樹。
• 兩點 \(u\) 和 $v $ 的最近公共祖先 $ LCA(u,v)$ 的點權為原圖中從 $u $ 到 \(v\) 滿足最大邊最小的路徑上的邊的最大值。
• 任意點的權值大於左右兒子的權值，是一個大根堆（若邊權從大到小排序，則為小根堆）。
• \(Kruskal\) 重構樹整棵樹的根就是最後所建的結點。
• 若原圖不連通，即建出的是一個森林，那麼就遍歷每個節點，找到其並查集的根作為其所在樹的根。

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