線索二叉樹的原理及建立

二十二畫程式設計師發表於2021-04-28
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二叉樹

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1. 為什麼要用到線索二叉樹？

我們先來看看普通的二叉樹有什麼缺點。下面是一個普通二叉樹（鏈式儲存方式）：

一顆普通二叉樹

乍一看，會不會有一種違和感？整個結構一共有 7 個結點，總共 14 個指標域，其中卻有 8 個指標域都是空的。對於一顆有 n 個結點的二叉樹而言，總共會有 n+1 個空指標域，這個規律使用所有的二叉樹。

這麼多的空指標域是不是顯得很浪費？我們學習資料結構和演算法的重點就是在想法設法地提高時間效率和空間利用率。這麼多的指標域就這麼白白浪費了，太敗家了！

所以我們要想法子好好利用它們，利用它們來幫助我們更好地使用二叉樹這個資料結構。

那麼如何利用呢？

前面已經強調過很多次了，遍歷二叉樹的實質是將二叉樹中非線性結構的結點轉化為線性的序列，然後才能方便我們遍歷。

比如上圖的中序遍歷序列為：DBGEACF。

對於一個線性序列（線性表）來說，它有直接前驅和直接後繼的概念（在【什麼是線性表？】中介紹過）。比如在中序遍歷序列中，B 的直接前驅為 D，直接後繼為 G。

我們之所以能知道 B 的直接前驅和直接後繼，是因為我們按照中序遍歷的演算法，把二叉樹的中序遍歷序列寫出來了，然後根據這個順序序列說誰的前驅是誰、後繼是誰。

直接前驅和直接後繼是不能完全直接通過二叉樹得到的，因為二叉樹中只有雙親和孩子結點之間的直接關係，即二叉樹的結點指標域中只儲存了其孩子結點的地址。

現在的需求是，我想能直接從二叉樹上得到某結點在中序遍歷方式下的直接前驅和直接後繼。

這時候就需要用到線索二叉樹了。

2. 什麼是線索二叉樹？

當然，我們肯定需要藉助結點的指標域來儲存直接前驅和直接後繼的地址。

其實，在上圖的普通二叉樹中（以中序遍歷得到的序列），部分結點（指標域不為空的結點）是可以找到其直接前驅或後繼的，比如結點 E 的左孩子 G 就是結點 E 的直接前驅；結點 A 的右孩子 C 就是結點 A 的直接後繼。

但部分結點（指標域為空）是行不通的，比如結點 G 的直接後繼是 E，直接前驅是 B，但在二叉樹中卻不能得出這樣的結論。怎麼辦呢？我們注意到，結點 G 的兩個指標域都為 NULL，並未被利用，那麼我們使用這兩個指標，分別指向其前驅和後繼不就好了嗎？

中序遍歷下結點G的指向情況

實在是兩全其美，天作之合！但是問題並沒有解決！

因為我們是利用空指標域來指向前驅或後繼的，對於那些指標域不為空的結點，這樣是矛盾的，比如結點 E 和結點 B。

既然有矛盾，那麼我們就發現產生矛盾的根源，解決矛盾。

產生矛盾的根源是：結點的指標域為空和不為空時，指標的指向矛盾。即，指標不為空時指向孩子和指標為空時指向前驅或後繼之間的矛盾。

那麼我們對症下藥，把指標域為空和不為空給區分出來，清晰地告訴指標：不為空時指向孩子，為空時指向前驅或後繼。這就需要我們給兩個指標各新增一個標誌位。

線索二叉樹的結點

並約定以下規則：

  • left_flag == 0 時，指標 left_child 指向左孩子
  • left_flag == 1 時，指標 left_child 指向直接前驅
  • right_flag == 0 時，指標 right_child 指向右孩子
  • right_flag == 1 時，指標 right_child 指向直接前驅

二叉樹的結點要有所變化：

/*線索二叉樹的結點的結構體*/
typedef struct Node {
    char data; //資料域
    struct Node *left_child; //左指標域
    int left_flag; //左指標標誌位
    struct Node *right_child; //右指標域
    int right_flag; //右指標標誌位
} TTreeNode;

有了標誌位，一切就能理清了。我們稱指向直接前驅和後繼的指標為線索。標誌位為 0 的指標是指向孩子的指標，標誌位為 1 的指標是線索。

一個二叉連結串列樹，結點結構如上，我們將所有空指標都變為線索，這樣的二叉樹就是二叉線索樹。

3. 如何創造線索二叉樹？

在普通二叉樹中，我們想要獲取某個結點在某種遍歷次序下的直接前驅或後繼，每次都需要遍歷獲取到遍歷次序之後才能知道。而線上索二叉樹中，我們只需要遍歷一次（創造線索二叉樹時的遍歷），之後，線索二叉樹就能“記住”每個結點的直接前驅和後繼了，以後都不需要再通過遍歷次序獲取前驅或後繼了。

我們按照某種遍歷方式，把普通二叉樹變為線索二叉樹的過程被稱為二叉樹的線索化。

接下來，我們用中序遍歷的方式，將下面的二叉樹線索化為線索二叉樹

將標誌位為 1 的指標，按照中序遍歷序列，使其指向前驅或後繼：

其中，結點 D 沒有直接前驅，結點 F 沒有直接後繼，故指標為 NULL。

到此，我們算是解決了擁有 n 個結點的二叉樹存在 n+1 個空指標域所造成的浪費，解決方式是給每個結點的指標增加一個標誌位，以此來利用空指標域。標誌位中儲存的是 0 或 1 的布林值，與浪費的空指標域相比，是相對比較划算的。而且使二叉樹具有了一種新特性——二叉樹中能儲存在某種遍歷次序下的結點之間的前驅和後繼關係。

4. 線索化的實現

請注意一點，線索二叉樹是由普通二叉樹得來的，而且是按某種遍歷順序得來的。因為線索是在知道某個結點的前驅和後繼的情況下才能設定，而前驅和後繼關係不能通過二叉樹直接體現，只能通過遍歷二叉樹得到的線性序列得出關係。所以要通過某種遍歷方式得到具有前驅和後繼關係的序列後，才能修改結點的空指標，進而設定線索。

即：線索化的實質是在按照某種遍歷次序進行遍歷二叉樹的過程中修改結點的空指標，使其指向其在該遍歷次序下的直接前驅或直接後繼的過程。

我們在【二叉樹的遍歷原理】和【二叉樹的遍歷實現】分別介紹了二叉樹四種遍歷方式的原理及程式碼實現。當時我們是以列印為例來介紹遍歷的。但遍歷不止做列印的事，還可以做線索化的事。

所以，程式碼的大體結構還是一樣的，我們只需把遍歷程式碼中的列印程式碼換成線索化的程式碼，並作出一些其他改變即可。

下面以下圖為例，分別介紹三種線索化：

一顆未線索化的二叉樹，其所有標誌位均預設為 0.

示例

4.1. 中序線索化

按照中序遍歷次序線索化後，可得下圖：

我們先再次明確以下內容：

  • 我們是在遍歷二叉樹的過程中進行線索化的。

  • 中序遍歷的順序為：左子樹 >> 根 >> 右子樹。

  • 線索化修改兩個東西：空指標域和其對應的標誌位。

  • 如何修改？將空指標域置為直接前驅或後繼。

所以我們的問題變成了：

  1. 找到所有空指標域。
  2. 找到空指標域所屬結點，在先序次序下的直接前驅和直接後繼。
  3. 修改空指標域的內容，及其標誌位，使該指標稱為線索。

說明：我們在遍歷二叉樹時，使用到了遞迴，所以在進行線索化的時候，也會使用它。

具體程式碼如下：

//全域性變數 prev 指標，指向剛訪問過的結點
TTreeNode *prev = NULL;

/**
 * 中序線索化
 */
void inorder_threading(TTreeNode *root)
{
    if (root == NULL) { //若二叉樹為空，做空操作
        return;
    }
    inorder_threading(root->left_child);
    if (root->left_child == NULL) {
        root->left_flag = 1;
        root->left_child = prev;
    }
    if (prev != NULL && prev->right_child == NULL) {
        prev->right_flag = 1;
        prev->right_child = root;
    }
    prev = root;
    inorder_threading(root->right_child);
}

4.2. 先序線索化

按照先序順序線索化後，可得下圖：

具體程式碼如下：

// 全域性變數 prev 指標，指向剛訪問過的結點
TTreeNode *prev = NULL;

/**
 * 先序線索化
 */
void preorder_threading(TTreeNode *root)
{
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    if (root->left_child == NULL) {
        root->left_flag = 1;
        root->left_child = prev;
    }
    if (prev != NULL && prev->right_child == NULL) {
        prev->right_flag = 1;
        prev->right_child = root;
    }
    prev = root;
    if (root->left_flag == 0) {
        preorder_threading(root->left_child);
    }
    if (root->right_flag == 0) {
        preorder_threading(root->right_child);
    }
}

4.3. 後序線索化

按照後序遍歷次序線索化後，可得下圖：

具體程式碼如下：

//全域性變數 prev 指標，指向剛訪問過的結點
TTreeNode *prev = NULL;

/**
 * 後序線索化
 */
void postorder_threading(TTreeNode *root)
{
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    postorder_threading(root->left_child);
    postorder_threading(root->right_child);
    if (root->left_child == NULL) {
        root->left_flag = 1;
        root->left_child = prev;
    }
    if (prev != NULL && prev->right_child == NULL) {
        prev->right_flag = 1;
        prev->right_child = root;
    }
    prev = root;
}

5. 總結

線索二叉樹充分利用了二叉樹中的空指標域，給予二叉樹一個新特性——通過一次遍歷進行線索化後，二叉樹中就能儲存其結點之間的前驅和後繼關係。

所以，如果我們需要頻繁遍歷二叉樹，查詢某個結點的直接前驅或後繼結點，使用線索二叉樹是非常合適的。

此外，由於程式碼涉及到遞迴，初次接觸可能不好理解，我們可以藉助斷點進行除錯，細緻觀察線索化的整個過程來幫助理解。

以上就是線索二叉樹的原理及建立

完整程式碼請移步至 GitHub | Gitee 獲取。

如有錯誤，還請指正。

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