1
小宇：閃客，我最近在研究動態規劃，但感覺就是想不明白，你能不能給我講講呀？
閃客：沒問題，這個我擅長，你先說說提到動態規劃，你最先想到的是什麼？
小宇：就什麼子問題呀、狀態轉移方程呀亂七八糟的，哎呀不行不行，我一想到這些腦子又嗡嗡響了。
閃客：你先別急，你先把所有的名詞都拋在腦後，聽我講。
小宇：好滴，你說吧。
閃客：小宇我問你，從 1 一直加到 100 等於多少？
1 + 2 + 3 + ... + 100 = ？
小宇：5050！
閃客：你這，怎麼不按套路出牌呀，你應該說不知道。
小宇：人家高斯早就算出來了，我還裝不知道，這也太假了吧。
全劇終...
2
閃客：好吧，那我再給你出一個題。
小宇：行，你說吧，這回我肯定說不知道。
閃客：一個樓梯有 10 級臺階，你從下往上走，每跨一步只能向上邁 1 級或者 2 級臺階，請問一共有多少種走法？
小宇：額，這我真不知道了，我想想哈。
小宇：不行了不行了，實在想不明白，想了後面的就忘了前面的。
閃客：你還是陷入了窮舉的思想，你仔細想想我給你出的第一個題，看看有沒有思路。
小宇：啊！原來是有關聯的呀。
閃客：對呀，我本來想說假如我告訴你 1+...+99 是多少，你是不是就直接能算出 1+...+100 的值了。
小宇：哦你這麼一提示我有點感覺了！要想走到第 10 級臺階，要麼是先走到第 9 級，然後再邁一步 1 級臺階上去，要麼是先走到第 8 級，然後一次邁 2 級臺階上去。
閃客：太棒了！你找到感覺了！接著往下說。
小宇：這樣的話，走到 10 級臺階的走法數，就等於走到 9 級臺階的走法數，加上走到 8 級臺階的走法數。
閃客：很好，那假如走到第 x 級臺階的走法數我們定義為 F(x)，那你能把剛剛的描述公式化麼？
小宇：那太簡單了，公式就是：
F(10) = F(9) + F(8)
閃客：沒錯，而且不光是 10 級臺階如此，走到任何一級臺階的走法數，都符合這個邏輯，因此就可以得出一個通用公式：
F(x) = F(x-1) + F(x-2)
小宇：嗯嗯，這樣計算 F(10)，只需要知道 F(9) 和 F(8) 就可以了，而計算 F(8)，就只需要知道 F(7) 和 F(6) 就可以了，依次類推。
閃客：沒錯，那你想想看 F(2) 和 F(1) 怎麼計算？
小宇：簡單，還是剛剛都邏輯被，想知道 F(2)，只需要知道 F(1) 和 F(0)，誒不對 F(0) 是什麼鬼？還有 F(1) 的計算需要知道 F(0) 和 F(-1)，不行呀，這解釋不通了。
閃客：哈哈，別急，在這道題裡，如果只邁到 1 級臺階，那一共就一種走法；如果只邁到 2 級臺階，就只有兩種走法。可以直接很直觀地得出，沒必要推導。
小宇：哦哦我懂了，這道題裡由於每一個遞推項都需要前兩項的支援，所以必須有最開頭的兩項作為已知，就是你說的 F(1) = 1 和 F(2) = 2。
閃客：沒錯。
小宇：嗯嗯，感覺這樣就推出全部結果了！我寫一下程式你看看。
閃客：先別急，由於這道題是一道經典的動態規劃題，所以我們以這道題為例子來定義動態規劃的三要素，在本題中
F(x-1) 和 F(x-2) 被稱為 F(x) 的最優子結構
F(x) = F(x-1) + F(x-2) 叫狀態轉移方程
F(1) = 1, F(2) = 2 是問題的邊界
之後做動態規劃問題，只要找好這三個要素就好了。
小宇：哇，昇華了誒，逼格瞬間高了不少呢。
閃客：先別說這些廢話了，那接下來你看看能不能寫出程式，計算出 F(10) 的結果，這才是難點。
小宇：程式設計的話這似乎是個遞迴問題，簡單！
int getWays(int n) { if (n == 1) { return 1; } if (n == 2) { return 2; } return getWays(n-1) + getWays(n-2); }
閃客：嗯不錯，這樣很簡潔，但複雜度太高了，是 O(2^n)，具體你可以之後想想為什麼。現在你看看能不能將複雜度降低。
小宇：我想想看，計算 F(10) 時需要計算 F(9) 和 F(8)，而在遞迴計算 F(9) 時要計算 F(8) 和 F(7)，這樣 F(8) 在這裡重複計算了，浪費了時間。
閃客：沒錯，其實計算新一個階段的值，只需要一直將其前兩個階段的值儲存起來，就可以一直算到最終的結果了。比如定義兩個變數 a 和 b 用於儲存前兩個階段的值，在計算 F(3) 時。
計算 F(4) 時，F(1) 的值就不用儲存了，a 和 b 依次替換新值。
依此類推，最終就算出了 F(10) 的值。
當然你也可以把之前的值都保留，但這樣就增加了空間複雜度，看你的需求了。
小宇：好的，那這樣程式碼也很好寫，就這樣。
int getWays2(int n) { if (n == 1) { return 1; } if (n == 2) { return 2; } int a = 1; int b = 2; int temp = 0; for (int i = 3; i <= n; i++) { temp = a + b; a = b; b = temp; } return temp; }
閃客：不錯，這就是這道題正確的動態規劃解法，而且時間複雜度是 O(N)，空間複雜度是 O(1)
小宇：哇，這就是動態規劃呀，原來這麼簡單。
3
閃客：不錯，動態規劃理解起來不難，難在當需要考慮的因素，也就是變化的維度多起來的時候，有的人就會頭腦發矇，不好找遞推公式了，而且這也確實是個難點。
小宇：哦是嗎？
閃客：那當然，我再給你出一道題。
小宇：來吧兄弟。
閃客：咳咳，那你聽好了。
有一個揹包，可以裝載重量為 5kg 的物品。
有 4 個物品，他們的重量和價值如下。
那麼請問，在不得超過揹包的承重的情況下，將哪些物品放入揹包，可以使得總價值最大？
小宇：明白了，就是我用這個揹包最多能裝走多少錢的東西。
閃客：是的。
小宇：哎呀不行，我又陷入走樓梯時的遍歷思想了。
閃客：沒關係，這道題能想出遍歷思想，其實也不容易了，你可以先說一下，找找感覺。
小宇：嗯嗯，那就是每個物品都可以有放入揹包和不放入揹包兩種選擇。
如果總重量超過了揹包承重，那就不算，或者說將價值記為 0，然後將所有情況中價值最大的那個作為結果。
這樣的複雜度也很容易得出，就是 O(2^N)
閃客：沒錯，這個複雜度很高的演算法你已經說的很明白了，那接下來你想想看用動態規劃思想，能不能解決這個問題。
小宇：好的，你之前說過，動態規劃的三要素是最優子結構、狀態轉移方程和邊界
閃客：沒錯，之前的變數很少所以比較簡單，現在變數多了，定義就變得難了起來，我們先來幾個定義方便描述。我們將 4 個物品的重量和價值分別表示為：w1，w2，w3，w4，v1，v2，v3，v4。
假如我們用
F(W,i)
表示
用載重為 W 的揹包，裝前 i 件物品的最大價值
那本題其實就是
用載重為 5kg 的揹包，裝前 4 件物品的最大價值
其實就是求解
F(5,4)
你能找到狀態轉移方程麼？
小宇：我想想，單看這個物品 4，有兩種可能：
第一種可能：如果選擇把它裝入揹包，那已經得到了 6 元錢。
此時揹包剩餘載重為 1kg（5kg-4kg），剩餘物品是除去物品 4 後的前 3 件物品。
那這部分能獲取到的最大價值，相當於
用一個載重為 1kg 的揹包，裝前 3 件物品的最大價值
哇，那這部分就是
F(1,3)
閃客：哈哈，你這自己說著說著就說對啦！
小宇：所以最終，如果選擇將物品 4 放入揹包，這種情況下，最大價值就等於二者之和。
F(1, 3) + 6
閃客：太好了小宇，那另一種情況呢？
小宇：第二種可能：如果選擇不裝這個物品 4，那更簡單了，就直接等於用一個載重為 5 的揹包裝前 3 件物品的價值。
F(5, 3)
閃客：沒錯，而且就只有這兩種情況！所以你看看 F(5,4)是否能用這兩種情況的值表示呢？
小宇：哈哈，很簡單，就等於這兩種情況當中的最大值唄。
F(5,4) = max { F(1, 3) + 6，F(5, 3) }
閃客：太好了，現在狀態轉移方程出來了，此時我們畫個表格。
我們的目標就是要計算右下角那個值，即揹包載重 W = 5 時，選擇前 4 件物品放入揹包的最大價值 F(5,4)
小宇：哇這個表格好清晰呀，根據上面的公式
F(5,4) = max { F(1,3) + 6, F(5,3) }
那也就是說只要知道 F(1,3) 和 F(5,3) 的值就可以了對吧？
閃客：沒錯，那你再看看 F(1,3) 怎麼計算？
小宇：好的，F(1,3) 此時揹包重量為 1，如果選擇放第三件物品的話，誒？好像不行，第三件物品根本放不下呀！
閃客：是的，所以這種情況就沒必要討論放第三件物品的情況了，因為根本放不下，因此 F(1,3) 直接就等於 F(1,2)，所以只需要知道 F(1,2) 即可。
同理 F(1,2) 也直接等於 F(1,1)，因為在揹包重量為 1 時第二件物品也放不下。
閃客：小宇你想想看，那 F(1,1) 又等於什麼呢？
小宇：顯然嘛，現在只有一件物品可以選了，那能放下當然就放咯，所以最大價值就是第一件物品的價值 3，即 F(1,1) = 3
閃客：沒錯，這樣我們就找到了一個邊界值，小宇你想想看還有哪些邊界值可以直接得出？你寫在表格裡吧。
小宇：好的，首先第一列表示揹包重量為 0 時的情況，那顯然什麼都裝不了，就全都是 0 了。
然後第一行也比較好算，揹包重量 >= 1 時可以放下第一件物品，所以最大價值都等於 3
閃客：很好，接下來，就依次把表格的所有項都填出來，自然就可以算出 F(5,4) 啦。
小宇：哇塞，這樣看好清晰呀！
閃客：是呀，不過剛剛我們用的都是具體的數字，那我們試著把這個問題抽象化，用一個載重為 W 的揹包，裝載 N 件物品，每件物品的重量和價值分別用 wi 和 vi 來表示，那剛剛的狀態轉移方程是什麼呢？
小宇：emm，剛剛 F(5,4) = max { F(1,3) + 6, F(5,3) }，如果都用變數表示的話，就是
F(W,N) = max { F(W-wn, N-1) + vn，F(W, N-1) }
閃客：很好，這就是狀態轉移方程。
F(W-wn, N-1) 和 F(W, N-1) 就是 F(W,N) 的最優子結構。
而剛剛表格中的第一行和第一列，即 F(0,...) 和 F(...,1) 就是邊界值！
小宇：哇塞我愛你閃客！終於有點理解動態規劃的思想了呢！
4
閃客：別高興太早，雖然過程看著清晰了，但程式碼寫起來還是有難度的，你今天回去就把程式碼試著實現一下吧。
小宇：好的，保證完成任務。
閃客：快到晚飯時間了，旁邊新開了家餃子館，要不要一塊去吃呀？
小宇：哦不了，晚上想利用晚飯時間再去消化消化動態規劃的知識，不是還得程式碼實現呢麼，下次吧，
閃客：哦好吧~
後記
本文通過直觀演示 01 揹包問題的解題思路，簡單說明了動態規劃思想的演算法核心。可能不少人覺得動態規劃難在理解，所以花很多時間在理解其思想上。但其實理解核心思想，這一篇文章就夠了，更多的是通過不斷做題，反過來幫助自己理解動態規劃的思想。所以希望讀者在讀完本文後，和小宇一樣，動手將其程式碼實現，並找來其他變種題目，繼續鞏固。