Python的排序演算法由Peter Tim提出，因此稱為TimSort。它最先被使用於Python語言，後被多種語言作為預設的排序演算法。TimSort實際上可以看作是mergeSort+binarySort，它主要是針對歸併排序做了一系列優化。如果想看Python的TimSort原始碼，在Cpython的Github倉庫能找到，這裡面還包含一個List物件的PyList_Sort函式。這篇文章為了方便借用JAVA對TimSort的實現原始碼來說明其原理。
一.binarySort函式
TimSort非常適合大量資料的排序，對於少量資料的排序，TimSort選擇使用binarySort來實現，因此我想先介紹一下binarySort的過程。
我們知道插入排序的思路是通過交換元素位置的方式依次插入元素(如果不太瞭解插入排序可以先去熟悉一下)，當要插入元素時，從已排序的部分的最後一位開始，依次比較其與待插入的元素的值，這樣來找到待插入元素的位置。顯然，在插入排序的過程中，始終是有一個在增長的有序部分和在縮短的無序部分。排序過程見下圖(圖源自RainySouL1994的部落格)：
但是插入排序有個很明顯的問題，在找當前元素的位置時它是一步一步地在有序部分往前推進的，而有序列表的插入可以通過二分法來減少比較次數，這和二分查詢的目的不同但是思路相同(可以自己嘗試一下實現它)，我們稱其為二分插入，通過二分插入實現的排序就是二分排序(binarySort)。我們可以看一下它的Java原始碼：
//a是陣列,lo是待排序部分(有序部分+無序部分)的最低位(包含)，hi是最高位(不包含),start是無序部分的最低位,c是比較函式即排序的依據 private static <T> void binarySort(T[] a, int lo, int hi, int start, Comparator<? super T> c) { assert lo <= start && start <= hi; if (start == lo) start++; for ( ; start < hi; start++) {//接下來就是二分插入的過程 T pivot = a[start]; int left = lo; int right = start; assert left <= right; while (left < right) { int mid = (left + right) >>> 1; if (c.compare(pivot, a[mid]) < 0) right = mid; else left = mid + 1; } assert left == right; int n = start - left;//n表示要移動的元素數量 //優化插入過程，當要移動的元素數量為1或2時，可以直接交換元素位置； //否則將left後的元素往後挪一位再插入，方式是通過arraycopy函式複製 switch (n) { case 2: a[left + 2] = a[left + 1]; case 1: a[left + 1] = a[left]; break; default: System.arraycopy(a, left, a, left + 1, n); } a[left] = pivot; } }
二.run
這是TimSort中最重要的一個概念，實在找不到合適的翻譯(無奈臉)。run實際上就是一個連續上升（包含相等）或者下降（不包含相等）的子串。比如對於陣列[1,3,2,4,6,4,7,7,3,2]，其中有四個run，第一個是[1,3]，第二個是[2,4,6]，第三個是[4,7,7]，第四個是[3,2]，在函式中對於單調遞減的run會被反轉成遞增的序列。原始碼中通過countRunAndMakeAscending()函式來得到run：
private static <T> int countRunAndMakeAscending(T[] a, int lo, int hi, Comparator<? super T> c) { assert lo < hi; int runHi = lo + 1; if (runHi == hi) return 1; //找到run的結束位置，如果是下降的序列將其反轉 if (c.compare(a[runHi++], a[lo]) < 0) { while (runHi < hi && c.compare(a[runHi], a[runHi - 1]) < 0) runHi++; reverseRange(a, lo, runHi); } else { while (runHi < hi && c.compare(a[runHi], a[runHi - 1]) >= 0) runHi++; } return runHi - lo;//返回值為run的長度 }
三.TimSort排序過程
直接上原始碼分析，可以參考程式碼註釋和下面的解釋來閱讀：
static <T> void sort(T[] a, int lo, int hi, Comparator<? super T> c, T[] work, int workBase, int workLen) { assert c != null && a != null && lo >= 0 && lo <= hi && hi <= a.length; int nRemaining = hi - lo;//待排序的陣列長度 if (nRemaining < 2) return; //長度為0或1的陣列無需排序 // 如果陣列長度小於32(即MIN_MERGE，TimSort的Python版本里這個值為64)，直接用binarySort排序 if (nRemaining < MIN_MERGE) { int initRunLen = countRunAndMakeAscending(a, lo, hi, c);//找到第一個run，返回其長度 binarySort(a, lo, hi, lo + initRunLen, c);//第一個run已排好序，因此binarySort的引數start=lo+initRunLen return; } TimSort<T> ts = new TimSort<>(a, c, work, workBase, workLen); int minRun = minRunLength(nRemaining);//最小run長度，見解釋A do { // 找run int runLen = countRunAndMakeAscending(a, lo, hi, c); // 如果run長度小於minRun，將其擴充套件為min(nRemaining,minRun) if (runLen < minRun) { int force = nRemaining <= minRun ? nRemaining : minRun; binarySort(a, lo, lo + force, lo + runLen, c);//擴充套件run到長度force runLen = force; } ts.pushRun(lo, runLen);// 將run儲存到棧中，見解釋B ts.mergeCollapse();// 根據規則合併相鄰的run，見解釋C // 繼續尋找run lo += runLen; nRemaining -= runLen; } while (nRemaining != 0); // Merge all remaining runs to complete sort assert lo == hi; ts.mergeForceCollapse();//最後收尾，將棧中所有run從棧頂開始依次鄰近合併，得到一個run assert ts.stackSize == 1; }
解釋A：在執行排序演算法之前，會計算minRun的值，minRun會從[16,32]區間中選擇一個數字，使得陣列的長度除以minRun等於或者略小於2的冪次方。比如長度是65，那麼minrun的值就是17；如果長度是174，minrun就是22。minRunLength()函式程式碼如下：
private static int minRunLength(int n) { assert n >= 0; int r = 0; // 如果n的低位有任何一位為1，r就會置1 while (n >= 32) { r |= (n & 1); n >>= 1; } return n + r; }
解釋B：存run是通過兩個棧，分別儲存run的起始位置和長度，可以看pushRun()函式程式碼：
private int stackSize = 0; // 棧中run的數量 private final int[] runBase; private final int[] runLen; private void pushRun(int runBase, int runLen) { this.runBase[stackSize] = runBase; this.runLen[stackSize] = runLen; stackSize++; }
解釋C：這裡的合併規則如下：假設棧頂三個run依次為X，Y，Z，X為棧頂run，要求它們的長度滿足X+Y<Z及X<Y兩個條件。其實這就是TimSort演算法的精髓所在了，它通過這樣的方式盡力保證合併的平衡性，即讓待合併的兩個陣列儘可能長度接近，從而提高合併的效率。通過這兩個條件限制，保證了棧中的run從棧底到棧頂是從大到小排列的，並且合併的收斂速度與斐波那契數列一樣。可以看mergeCollapse()函式程式碼：
private void mergeCollapse() { while (stackSize > 1) { int n = stackSize - 2; if (n > 0 && runLen[n-1] <= runLen[n] + runLen[n+1]) {//條件一不滿足的話，Y就會和X、Z中較小的run合併 if (runLen[n - 1] < runLen[n + 1]) n--; mergeAt(n); } else if (runLen[n] <= runLen[n + 1]) {//條件二不滿足的話，Y就和X合併 mergeAt(n); } else { break; // Invariant is established } } }
四.合併的方式
到這裡我們就把整個流程講完了，還有最後一個問題沒有講--如何合併run？合併兩個run需要額外空間(可以不用，但是效率太低)，額外空間大小我們可以設為較小的run的長度。假設我們有前後X、Y兩個run需要合併，X較小，那麼X可以放入臨時記憶體中，然後從小到大合併；如果Y較小，那麼把Y放入臨時記憶體，然後從大到小排序。這個流程其實也比較簡單(圖源自佛西先森的部落格)：
並且，由於兩個run都是已經排好序的序列，我們可以在run合併之前計算A中最後一個元素在B中的位置i，那麼B中i之後的元素都不需要參與合併；同理，我們也可以計算B中第一個元素在A中位置j，A中j之前的元素都不需要參與合併。
在歸併排序演算法中合併兩個陣列就是一一比較每個元素，把較小的放到相應的位置，然後比較下一個，這樣有一個缺點就是如果A中如果有大量的元素A[i...j]是小於B中某一個元素B[k]的，程式仍然會持續的比較A[i...j]中的每一個元素和B[k]，增加合併過程中的時間消耗。
為了優化合並的過程，TimSort設定了一個閾值MIN_GALLOP，如果A中連續MIN_GALLOP個元素比B中某一個元素要小，則通過二分搜尋找到A[0]在B中的位置i0，把B中i0之前的元素直接放入合併的空間中，然後再在A中找到B[i0]所在的位置j0，把A中j0之前的元素直接放入合併空間中，如此迴圈直至在A和B中每次找到的新的位置和原位置的差值是小於MIN_GALLOP的，這才停止然後繼續進行一對一的比較。
五.總結
總結一下上面的排序的過程：
- 如果長度小於32直接進行二分插入排序
- 遍歷陣列組成一個
run - 得到一個
run之後會把他放入棧中 - 如果棧頂部幾個的
run符合合併條件，就會合並相鄰的兩個run - 合併會使用盡量小的記憶體空間和GALLOP模式來加速合併
參考資料：1.世界上最快的排序演算法——Timsort
2.JDK8官方原始碼