演算法導論-第6章

總覽

• 與第2章演算法對比

複雜度	插入	歸併	堆排序
時間	O($N^2$)	O($nlgn$)	O($nlgn$)
空間	O($n$)	O($2^n$)	O($n$)

總結：堆排序結合了兩者優點

• 本章演算法對比

演算法名	MAX-HEAPIFY	BUILD-MAX-HEAP	HEAPSORT	優先佇列的四種功能1
時間複雜度	O($lgn$)	線性時間複雜度	O($nlgn$)	O($lgn$)
作用	維護最大堆性質	無序的輸入資料陣列構造最大堆	對一個陣列進行原址排序	利用堆實現優先佇列

堆

概念理解：
完全二叉樹、最小堆²、最大堆

• 引數概念

A.length:陣列元素的個數
A.heap-size:儲存在陣列中的堆元素個數
//區別：A[1 ....A.length]都有資料		A[1 .... A.heap-size]堆的有效元素		0<=A.heap-size<=A.length

• 結點相關（下標 i ）

父結點：PARENT(i) = (i/2) 取小
左孩子：LEFT(i) = 2*i
右孩子：RIGHT(i) = 2*i + 1

維護堆的性質

MAX-HEAPIFY：一種自寫演算法，維護最大堆。
場景：一個有問題的最大堆，A[i]節點小於其孩子
解決方案：通過此演算法，把A[i]在最大堆“逐級下降”，使得下標為 i 的根節點遵循最大堆性質

• MAX-HEAPIFY(A,i)

l = LEFT(i)
r = RIGHT(i)

if l <= A.heap-size and A[l] > A[i]
	largest = l
else
	largest = i

if  r <= A.heap-size and A[r] > A[largest]
	largest = r

if largest != i
	exchange A[i] with A[largest]
	MAX-HEAPIFY(A,largest)

建堆

呼叫MAX-HEAPIFY(A,i)
子陣列A( [n/2] + 1 … n )元素都是樹的葉節點
結果：建出了一個最大堆

• BUILD-MAX-HEAP(A)

A.heap-size = A.length
for i = A.length/2  downto 1
	MAX-HEAPIFY(A,i)

堆排序演算法

• HEAPSORT(A)

BUILD-MAX-HEAP(A)
for i = A.length downto 2
	exchange A[1] with A[i]
	A.heap-size = A.heap-size - 1
	MAX-HEAPIFY(A,1)

優先佇列

• 背景

堆的常見應用：優先佇列（最大優先佇列、最小優先佇列）
這裡：最大堆實現最大優先佇列

• 介紹

優先佇列（priority queue）：一種用來維護由一組元素構成的集合 S 的資料結構，每一個元素都有一個相關的值，稱為關鍵字（key）

• 最大優先佇列要支援的功能

INSERT(S,x)：把元素 x 插入集合 S 中
MAXIMUM(S)：返回 S 中具有最大關鍵字的元素
EXTRACT-MAX(S)：去掉並返回 S 中具有最大關鍵字的元素
INCREASE-KEY(S , x , k)：將元素 x 的關鍵字值增加到 k ，這裡假設 k 的值不小於 x 的原關鍵字

• 用途

最大優先佇列：共享計算機系統的作業排程
最小優先佇列：基於事件驅動的模擬器

四種功能的實現

• HEAP-MAXIMUM(A)：返回最大關鍵字元素

return A[1]

時間複雜度 O($1$)

• HEAP-EXTRACT-MAX(A)：去掉並返回 A 中具有最大關鍵字的元素

if A.heap-size < 1
	error"heap underflow"

max = A[1]
A[1] = A[A.heap-size]
A.heap-size = A.heap-size-1
MAX-HEAPIFY(A,1)
return max

時間複雜度為 O($lgn$) 。因為除了時間複雜度為 O($lgn$) 的 MAX-HEAPIFY 以外，其他的操作都是常數階的

• HEAP-INCREASE-KEY(A , i , key)：將元素 i 的關鍵字值增加到 key ，這裡假設 key 的值不小於 i 的原關鍵字

if key < A[i]
	error"new key is smaller than current key"

A[i] = key

while i  > 1 and A[PARENT(i)] < A[i]
	exchange A[i] with A[PARENT(i)]
	i = PARENT(i)

時間複雜度O($lgn$)

• MAX-HEAP-INSERT(A , key)：插入到最大堆 A 中的新元素的關鍵字

A.heap-size = A.heap-size + 1
A[A.heap-size] = 負無窮
HEAP-INCREASE-KEY(A , A.heap-size , key)

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1. MAX-HEAP-INSERT、HEAP-EXTRACT-MAX、HEAP-INCREASE-KEY、HEAP-MAXIMUM ↩︎

2. 最大堆：除了根結點，所有結點 i 要滿足：A[ PARENT(i) ] >= A[ i ] ↩︎