演算法導論 3.2-7 共軛數

風海銅鑼發表於2020-12-04
演算法

用歸納法證明：第i個斐波那契數滿足等式

{\color{Red} F_{i}=\frac{\phi ^{i}-\varphi ^{i}}{\sqrt{5}}}

其中{\color{Red} \phi}是黃金分割率且{\color{Red} \varphi}是其共軛數。

解答：

根據歸納法，當i=1時，對於\frac{\phi -\varphi }{\sqrt{5}}，其中\phi -\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}，可得\frac{\phi -\varphi }{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1=F_{1}，所以當i=1時命題成立。

當i=2時，有\frac{\phi ^{2}-\varphi ^{2}}{\sqrt{5}}=1=F_{2}，所以當i=2時命題也成立

假設已知當i=n及i=n-1時(n>=2)時命題成立，所以有F_{n}=\frac{\phi ^{n}-\varphi ^{n}}{\sqrt{5}}，以及F_{n-1}=\frac{\phi ^{n-1}-\varphi ^{n-1}}{\sqrt{5}}， 由此可得

F_{n}+F_{n-1}=\frac{\phi ^{n}-\varphi ^{n}}{\sqrt{5}}+\frac{\phi ^{n-1}-\varphi ^{n-1}}{\sqrt{5}}=\frac{\phi ^{n}+\phi ^{n-1}-(\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1})}{\sqrt{5}}

由於\phi和\varphi都滿足x=x^{2}+1，可以得出\phi ^{n}+\phi ^{n-1}=\phi ^{n-1}(\phi +1)=\phi ^{n-1}\phi ^{2}=\phi ^{n+1}，

同理可得\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}=\varphi ^{n+1}，那麼可以得出F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}=\frac{\phi ^{n+1}-\varphi ^{n+1}}{\sqrt{5}}。

故證明成立。

 

 

 

 

 

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