演算法導論第三章練習

3-1練習

3.1-1

存在c₁=1/2時，max（f（n），g（n））≥ 1/2（f（n）+ g（n））

存在c₂ = 1時，max（f（n），g（n））≤ （f（n）+ g（n））

所以 max（f（n），g（n））= Θ（f（n）+ g（n））

3.1-2

∵ b > 0， c₁為正常量

∴ c₁n^b ≥ 0

運用反證法

∵ c₁n^b ≤ (n+a)^b ≤ c₂(n^b)

∴ c₁ ≤ （1+a/n）^b  ≤ c₂

∵ lim（n->∞）（1+a/n）= 1

∴ c₂可以取1及大於1的數，c₁可以取1及小於1的數

∵ c₁，c₂存在

∴ 反證成立

∴ 對任意實常量a和b，b>0,有(n+a)^b = Θ（n^b）

3.1-3

因為我們這裡的O（n²）是對任意的輸入有效，而插入排序在輸入為增序排列的陣列下執行時間為O（n），所以無意義

3.1-4

2^(n+1) = O(2ⁿ)成立

∵ 2^(n+1) > 0 

又 ∵ 當c ≥ 2時，2^(n+1) ≤ c2ⁿ

∴ 2^(n+1) = O(n²)

2²ⁿ = O(2ⁿ)不成立

假設成立

那麼 2²ⁿ ≤ c2ⁿ

∴ 2ⁿ ≤ c

∵ c為正常數，2ⁿ在n趨於無限大時無限大，不存在這樣的c

∴ 不成立

3.1-5

∵ f(n) = O(g(n))

∴ 0 ≤ f(n) ≤ cg(n)

∵ f (n) = Ω(g(n))

∴ 0 ≤ cg(n) ≤ f(n)

∴ 0 ≤ c₁g(n) ≤ f(n) ≤ c₂g(n)

∴ f(n) = Θ(g(n))

3.1-6

同 3.1-5證明

3.1-7

證明：

∵ f(n) = o(g(n)) 

∴ 0 ≤ f(n) < cg(n)

∵ f(n) = w(g(n))

∴ 0 ≤ cg(n) < f(n)

∴ (cg(n),∞) ∩ [0,cg(n)) = ∅

∴ o(g(n)) ∩ w(g(n)) = ∅

3.1-8

Ω（g（n,m））= {f（n,m）:存在正常量c,n0和m0，使得對所有n≥n0或m≥m0,有0 ≤ cg(n,m) < f(n,m)}

Θ（g（n,m））= {f（n,m）:存在正常量c,n0和m0，使得對所有n≥n0或m≥m0,有0 ≤ c₁g(n,m) ≤ f(n,m) ≤ c₂g(n,m)}

3.2練習

3.2-1

∵ f(n)和g(n)單調遞增

∴ 對於n+1 > n,有f(n+1) > f(n) , g(n+1) > g(n)

∴ 對於n+1 > n,有f(n+1)+g(n+1) > f(n)+g(n)

∴ f(n)+g(n)是單調遞增的

同理，

∵  g(n+1) > g(n)

∴ f(g(n+1)) > f((g(n))

即f(g(n))是單調遞增的

又 ∵ f(n+1) > f(n) , g(n+1) > g(n)，f(n),g(n)非負

∴ f(n+1)g(n+1) > f(n)g(n)

∴ f(n)g(n)是單調遞增的

3.2-2

反證法

∵ a^(logb(c)) = c^(logb(a))

∴ a^(loga(c)/loga(b)) = c^(loga(a)/loga(b))

∴  a^(loga(c)) = c 

即 c = c

所有等式成立

3.2-3

（1）

（2）要證明 n! = w（2ⁿ）

∴ 要證明 lim（n趨於∞）n!/2ⁿ = ∞

根據斯特林近似公式 n! ≥ （n/e）ⁿ

∴ 只要證明 lim（n趨於∞）（n/e）ⁿ/2ⁿ = ∞

∴ lim（n趨於∞）(（n/2e）ⁿ * 2ⁿ) /2ⁿ = ∞

即證明 （n/2e）ⁿ = ∞

∴ 當 n ≥ 2e時，n! = w（2ⁿ）

（3）要證明 n! = o（nⁿ）

∴  要證明 lim（n趨於∞）nⁿ/n! = ∞

根據斯特林近似公式

∵ Θ(1/n) ≤ 1

∴ n! ≤ 2√2∏n * (n/e)ⁿ

∴  要證明 lim（n趨於∞）nⁿ/(2√2∏n * (n/e)ⁿ) = ∞

∴ lim（n趨於∞）eⁿ/2√2∏n = ∞

∴  n! = o（nⁿ）

3.2-4

3.2-5

3.2-6

3.2-7

3.2-8