演算法導論第二章思考題

2-1

a.  

∵  長度為k的陣列

∴ 時間複雜度為 Θ（k²）

∵ 共有n/k個陣列

∴ T（n）= n/k * Θ（k²）= Θ（nk）

b.

∵ 2^i = n/k

∴ i = lg（n/k）

∴ 共有 lg（n/k）+ 1層

∵ 每層合併陣列花費的時間為 Θ（n）

∴ 合併所有子陣列的時間為 Θ（nlg（n/k））

c.

∵ 要與原來歸併排序具有相同的執行時間

∴ nlg（n/k）+ nk = c*nlgn

∵  當k逐漸增大，lg（n/k）逐漸減小

∴ k最大為lgn,此時lg（n/lgn）被忽略

d.

選擇插入排序比合並排序快的最大的列表長度

2-2

a.

 A’中的元素全部來自於A中變換後的元素。

b.

迴圈不變式：每次迭代之前，A[j]=min{A[k] | j<=k<=n}，並且子陣列A[j..n]中的元素還是最初在A[j..n]中的元素。

初始化：第一次迭代之前j=n，子陣列A[j..n]只包含一個元素A[n]，迴圈不變式顯然成立。

保持：迭代一個給定值的j。首先假設此次迭代前迴圈不變式成立，那麼根據迴圈不變式，A[j]是A[j..n]中最小的元素。第3~4行程式碼表示如果A[j]<A[j-1]就交換A[j]和A[j-1]，顯然這使得A[j-1]成為A[j-1..n]中最小的元素。由於唯一改變子陣列A[j-1..n]的操作僅僅是那次可能發生的交換操作，且在迭代開始時，A[j..n]中的元素最初都是在A[j..n]中，所以在迭代開始時A[j-1..n]中的元素最初都是在A[j-1..n]中。然後j自減，準備開始進入下一輪迭代。

終止：迴圈終止時j=i。根據迴圈不變式，A[j]=A[i]=min{A[k] | i<=k<=n}，並且A[i..n]中的元素最初都在A[i..n]中。

所以在2~4行的for迴圈執行結束過後，A[i]將是A[i..n]中最小的元素。

c.

迴圈不變式：每次迭代之前，子陣列A[1..i-1]包含了A[1..n]中前i-1小的所有元素，並且它們是已排好序的。A[i..n]中包含了A[1..n]中餘暇的元素。

初始化：第一次迭代之前i=1。子陣列A[1..i-1]為空，迴圈不變式顯然成立。

保持：迭代一個給定值的i。首先假設此次迭代前迴圈不變式成立，那麼根據迴圈不變式，A[1..i-1]包含了A[1..n]中前i-1小的所有元素，並且它們是已排好序的。第一部分已經證明：在執行2~4行的for迴圈後A[i]是A[i..n]中最小的元素。所以在執行了2~4行的for迴圈後A[1..i]中就包含了A[1..n]中前i小的所有元素，並且它們已經排好序。子陣列A[i+1..n]就包含了n-i個A[1..n]中餘下的元素。

終止：迴圈終止時i=n+1 => i-1=n。所以根據迴圈不變式，A[1..i-1]óA[1..n]中包含了A[1..n]中前i-1小的元素（即A[1..n]的全部元素），並且它們是排好序的。

所以在1~4行的for迴圈執行結束過後，A[1..n]將是有序的。

根據第二部分的結論，外層for迴圈結束後，陣列A[1..n]中的元素將是排好序的。故氣泡排序演算法是正確的。

d.

最壞情況的執行時間是Θ（n²），效能比插入排序差，在以排好序的陣列中插入排序的執行時間是Θ（n），而氣泡排序仍是Θ（n²）。

2-3

a.

Θ（n）

b.

樸素的多項式程式碼實現

public static int test(int[] arr,int x) {
		int sum = 0;
		int v;
		
		for(int i = 0;i < arr.length;i++) {
			v = 1;
			for(int j = 0;j < i;j++) {
				v *= x; 
			}
			sum += v*arr[i];
		}
		
		return sum;
	}

執行時間是Θ（n²）

與霍納規則相比，效能差很多

c.

初始化：i = n，y = 0，當i代入迴圈不變式後y = 0，迴圈不變式成立

保持：

終止：i = -1，此時y = Σ（0，n）akx^k,與迴圈不變式當i = -1時的多項式y相等，即為所求之和

d.

歸納法，類似上面保持裡的方法，假設 i = 1成立，在乘以x得出結果與i=0比較即可

2-4

a.

（1,5）（2,5）（3,4）（3,5）（4,5）

b.

降序排列的陣列，有n（n-1）/2對逆序對

c.

逆序對的數量越多，插入排序的時間越長

證明：

在增序排列的陣列中，逆序對最少為0，此時插入排序的執行時間為Θ（n）

而當降序排列的陣列中，逆序對最多為n（n-1）/2，此時插入排序的執行時間為Θ（n²）

不難看出逆序對越多所造成的內層迴圈也就越多，執行時間也越長

d.

歸併排序過程中每次將兩個子序列歸併成一個子序列的過程中，如果左邊的元素大於右邊的元素，計數就自增，歸併完成後就是逆序對數目。