DTOJ 樹的解構

題目

Mivik 喜歡 Eprom 的解構俱樂部，於是他想解構一棵樹。

Mivik 找到了一棵以 $1$ 為根的有 $n$ 個結點的有根外向樹。Mivik 會進行 $(n-1)$ 次操作，每次 Mivik 都會從未刪掉的邊中等概率選擇一條邊將其刪去。記這條邊為 $a\to b$，則刪去這條邊的代價是刪邊時 $b$ 的子樹大小（包括 $b$ 自己）；刪去這條邊後 $b$ 為根的子樹會形成一棵新的以 $b$ 為根的有根樹。

例如，下圖是 Mivik 找到的有根樹：

如果 Mivik 選了 $1\to 2$ 這條邊並將其刪去，那麼代價是 $3$（$2$ 所在的子樹內共有 $2,4,5$ 三個結點），而後情況會變成這樣：

如果 Mivik 此時再刪去 $2\to 4$ 這條邊，那麼代價是 $1$（$4$ 所在的子樹內只有 $4$ 一個結點），
隨後情況會變成這樣：

Mivik 想知道，他進行這 $(n-1)$ 次操作後期望的代價總和是多少。由於 Mivik 不喜歡太大的數，你只需要輸出期望的值對 $10^9+7$ 取模的結果。

資料範圍

對於所有測試點，滿足 $1\le n\le 2\times 10^6$。保證給出的有根樹合法。
每個子任務的具體限制見下表：

子任務編號	分值	特殊限制
$1$	$10$	$a_i=1$
$2$	$15$	$a_i=i$
$3$	$25$	$n\le 500$
$4$	$50$	無

題解

想到對於從 $1$ 到 $i$ 的一條鏈上的答案是互不影響的，所以我們對於一個點 $i$ 考慮其對答案的貢獻。
顯然， 設 $S_i=a_1,a_2\dots ,a_i$ 為邊的數量為 $i$ 的 刪邊順序的排列（這裡的 $a_i$是按照從根到 $i$ 的邊的順序來排的，即$a_i=k$, $k$為第$k$條邊）。我們只要統計其中的有效刪邊（會把 $i$計算進去的刪邊）的邊數即為答案。
顯然，如果 $a_i>a_j,i<j，$那麼 $i$ 就不會被計算到。於是 $S$ 的答案即為排列中單調棧的大小。
然後我們考慮怎麼求其單調棧的大小：
對於一個數$x$,顯然，只有 $\frac{1}{|S|-x+1}$的概率會在 $x$ 的前面選到比x大的數，所以對於$S_i$的所有排列的答案即為$|S|!\times {\sum }_{i=1}^{|S|}\frac{1}{i}$。
所以對於所有的點 $i$ ，其刪邊排列大小為 $de{p}_i$,($de{p}_i$為 $i$ 的深度，$de{p}_1=0$（想一想為什麼）)。
於是答案就是 ${\sum }_{i=2}^n{\sum }_{j=1}^{de{p}_i}\frac{1}{j}$。