正題

題目連結:https://www.luogu.com.cn/problem/P7044?contestId=36089

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題目大意

一個括號序列，0級偏值定義為其中不合法的括號數量。
$k$級偏值定義為它所有子串的$k-1$級偏值的和。
求這個括號序列的$k$級偏值。

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解題思路

後文中我們定義$G(x,y)=C_{x+y-1}^y$

考慮每一對括號的貢獻，不合法情況為只選擇左括號或者只選擇右括號。我們設他們為$[l,r]$，那麼只包含左括號就是$L\in [1,l],R\in [l,r-1]$的區間。轉換到$k$階就是$G(l,k)$。

右邊就不同了，我們觀察一下每個階時的值

r-3	r-2	r-1	r	r+1	…
1	1	1	0	0
1	2	3	3	3
1	3	6	9	12

不難發現到後面$(x,y)$這個位置就是$G(x,y)-G(x-r+l-1,y)$

用組合數統計答案即可。

時間複雜度$O(n\log n)$（線性預處理逆元可以做到$O(n)$）

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e6+10,XJQ=998244353;
ll n,k,ans,fac[N],inv[N];
char s[N];stack<int> S; 
ll power(ll x,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%XJQ;
		x=x*x%XJQ;b>>=1;
	}
	return ans;
}
ll G(ll n,ll m){
	if(n<=0||m<0)return 0;
	n=n+m-1;return fac[n]*inv[m]%XJQ*inv[n-m]%XJQ;
}
ll solve(ll l,ll r,bool op){
	ll ans=1;
	if(op)l=n-l+1,r=n-r+1,swap(l,r);
	ans=(G(r,k)-G(l-1,k)+XJQ)%XJQ;
	return ans;
} 
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	ll lim=max(n,k);fac[0]=inv[0]=1;
	for(ll i=1;i<=2*lim;i++){
		fac[i]=fac[i-1]*i%XJQ;
		inv[i]=power(fac[i],XJQ-2);
	}
	scanf("%s",s+1);
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		if(s[i]=='(')S.push(i);
		else{
			if(!S.empty()){
				ans=(ans+solve(1,S.top(),0)*solve(S.top(),i-1,1)%XJQ)%XJQ;
				S.pop();
			}
			else ans=(ans+solve(1,i,0)*solve(i,n,1)%XJQ)%XJQ;
		}
	}
	while(!S.empty())S.pop();
	for(ll i=n;i>=1;i--){
		if(s[i]==')')S.push(i);
		else{
			if(!S.empty()){
				ans=(ans+solve(S.top(),n,1)*solve(i+1,S.top(),0)%XJQ)%XJQ;
				S.pop();
			}
			else ans=(ans+solve(1,i,0)*solve(i,n,1)%XJQ)%XJQ;
		}
	}
	printf("%lld",ans);
}