JS演算法之找出缺失的整數

題目：一個無序陣列裡有99個不重複正整數，範圍從1到100，唯獨缺少一個整數。如何找出這個缺失的整數？

假設陣列長度是N，那麼該解法的時間複雜度是O（1），空間複雜度是O（N）。

此題有多種解法：

1、建立一個HashMap，以1到100為鍵，值都是0 。然後遍歷整個陣列，每讀到一個整數，就找到HashMap當中對應的鍵，讓其值加一。由於陣列中缺少一個整數，最終一定有99個鍵對應的值等於1, 剩下一個鍵對應的值等於0。遍歷修改後的HashMap，找到這個值為0的鍵。

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// 當前的無序陣列
var DisorderedArray = [1,2,5,3,6,4,...99] //此處省略
var HashMap = new Array(n);
// 遍歷HashMap
for(var i = 0; i < HashMap.length; i++){
    HashMap[i] = 0;
}
// 遍歷無序陣列
for(var j = 0; j < DisorderedArray.length; j++){
    HashMap[j] += 1;
}
for(var k = 0; k < HashMap.length; k++){
    if(HashMap[k] === 0){
        return k;
        break;
    }
}

以上解法在時間上是最優的，但額外開闢了空間，如何能夠降低空間複雜度呢？

此時，便有了解法2：

先把陣列元素進行排序，然後遍歷陣列，檢查任意兩個相鄰元素數值是否是連續的。如果不連續，則中間缺少的整數就是所要尋找的；如果全都連續，則缺少的整數不是1就是100。

假設陣列長度是N，如果用時間複雜度為O（NLogN）的排序演算法進行排序，那麼該解法的時間複雜度是O（NLogN），空間複雜度是O（1）。

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// 當前的無序陣列
var DisorderedArray = [1,2,5,3,6,4,...99] //此處省略
DisorderedArray.sort();
for(var i = 1; i < DisorderedArray.length; i++){
    var prev = DisorderedArray[i-1],
        item = DisorderedArray[i];
    if(item - prev != 1){
        return item-1;
        break;
    }else{
        if(DisorderedArray[0] == 2){
            return 1;
            break;
        }
        if(DisorderedArray[n] == (DisorderedArray.length-1)){
            return DisorderedArray.length;
            break;
        }
    }
}

以上解法是沒有開闢額外空間的，但是時間複雜度又大了，有辦法讓時間和空間都進一步優化麼？

此時，解法3出現：

很簡單也很高效的方法，先算出1+2+3….+100的和，然後依次減去陣列裡的元素，最後得到的差，就是唯一缺失的整數。

假設陣列長度是N，那麼該解法的時間複雜度是O（N），空間複雜度是O（1）。

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var DisorderedArray = [1,2,5,3,6,4,...99] //此處省略
var res = 0;
for(var i = 1; i < 101; i++){
    res += i;
}
for(var j = 0; j < DisorderedArray.length; j++){
    res -= DisorderedArray[j]
}
// 最後這裡的res就是最後缺失的整數

以上解法，對於沒有重複元素的陣列，這解法在時間和空間上已經是最優了。下面開始擴充套件問題

題目擴充套件：一個無序陣列裡有若干個正整數，範圍從1到100，其中99個整數都出現了偶數次，只有一個整數出現了奇數次（比如1,1,2,2,3,3,4,5,5），如何找到這個出現奇數次的整數？

此擴充套件的題目來看，用上面的三種方法是沒有用的，在這裡，就要運用到異或運算，於是就有這了這樣的解法：遍歷整個陣列，依次做異或運算。由於異或在位運算時相同為0，不同為1，因此所有出現偶數次的整數都會相互抵消變成0，只有唯一出現奇數次的整數會被留下。

假設陣列長度是N，那麼該解法的時間複雜度是O（N），空間複雜度是O（1）。

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// js異或運算子(^)
var arr = [4,4,6,8,8,2,3,3,7,6,7,1,5,9,1,5,9];
var res;
for (var i = 0; i < arr.length; i++) {
    var flag = false;
    for (var j = 0; j < arr.length; j++) {
        if(i != j){
            var aaa = arr[i] ^ arr[j];
            if(!aaa) {
                flag = true;
                break;
            }
        }
    }
    if(!flag){
        res = i;
        break;
    }
}
console.log(res)  // 5
console.log(arr[res])  // 2

此處我不得不說一下上面的方法，雖然上面的程式碼解決了問題，可是還是使用了大題程式碼，這在效能上還是會有很大的損耗的。於是就有了我下面這段程式碼，依然可以得到答案，而且大減少了程式碼量

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var arr = [4,4,6,8,8,2,3,3,7,6,7,1,5,9,1,5,9];
arr.reduce((prev,next) => prev ^ next); // 此處得到結果為2
// 由於異或在位運算時相同為0，不同為1，因此所有出現偶數次的整數都會相互抵消變成0，只有唯一出現奇數次的整數會被留下

題目第二次擴充套件：一個無序陣列裡有若干個正整數，範圍從1到100，其中98個整數都出現了偶數次，只有兩個整數出現了奇數次（比如1,1,2,2,3,4,5,5），如何找到這個出現奇數次的整數？

解法：

遍歷整個陣列，依次做異或運算。由於陣列存在兩個出現奇數次的整數，所以最終異或的結果，等同於這兩個整數的異或結果。這個結果中，至少會有一個二進位制位是1（如果都是0，說明兩個數相等，和題目不符）。

舉個例子，如果最終異或的結果是5，轉換成二進位制是00000101。此時我們可以選擇任意一個是1的二進位制位來分析，比如末位。把兩個奇數次出現的整數命名為A和B，如果末位是1，說明A和B轉為二進位制的末位不同，必定其中一個整數的末位是1，另一個整數的末位是0。

根據這個結論，我們可以把原陣列按照二進位制的末位不同，分成兩部分，一部分的末位是1，一部分的末位是0。由於A和B的末位不同，所以A在其中一部分，B在其中一部分，絕不會出現A和B在同一部分，另一部分沒有的情況。

這樣一來就簡單了，我們的問題又迴歸到了上一題的情況，按照原先的異或解法，從每一部分中找出唯一的奇數次整數即可。

假設陣列長度是N，那麼該解法的時間複雜度是O（N）。把陣列分成兩部分，並不需要藉助額外儲存空間，完全可以在按二進位制位分組的同時來做異或運算，所以空間複雜度仍然是O（1）。