【圖解經典演算法題】如何用一行程式碼解決約瑟夫環問題

約瑟夫環問題算是很經典的題了，估計大家都聽說過，然後我就在一次筆試中遇到了，下面我就用 3 種方法來詳細講解一下這道題，最後一種方法學了之後保證讓你可以讓你裝逼。

問題描述：編號為 1-N 的 N 個士兵圍坐在一起形成一個圓圈，從編號為 1 的士兵開始依次報數（1，2，3…這樣依次報），數到 m 的 士兵會被殺死出列，之後的士兵再從 1 開始報數。直到最後剩下一士兵，求這個士兵的編號。

1、方法一：陣列

在大一第一次遇到這個題的時候，我是用陣列做的，我猜絕大多數人也都知道怎麼做。方法是這樣的：

用一個陣列來存放 1，2，3 … n 這 n 個編號，如圖（這裡我們假設n = 6, m = 3）

然後不停著遍歷陣列，對於被選中的編號，我們就做一個標記，例如編號 arr[2] = 3 被選中了，那麼我們可以做一個標記，例如讓 arr[2] = -1，來表示 arr[2] 存放的編號已經出局的了。

然後就按照這種方法，不停著遍歷陣列，不停著做標記，直到陣列中只有一個元素是非 -1 的，這樣，剩下的那個元素就是我們要找的元素了。我演示一下吧：

這種方法簡單嗎？思路簡單，但是編碼卻沒那麼簡單，臨界條件特別多，每次遍歷到陣列最後一個元素的時候，還得重新設定下標為 0，並且遍歷的時候還得判斷該元素時候是否是 -1。感興趣的可以動手寫一下程式碼，用這種陣列的方式做，千萬不要覺得很簡單，編碼這個過程還是挺考驗人的。

這種做法的時間複雜度是 O(n * m), 空間複雜度是 O(n);

2、方法二：環形連結串列

學過連結串列的人，估計都會用連結串列來處理約瑟夫環問題，用連結串列來處理其實和上面處理的思路差不多，只是用連結串列來處理的時候，對於被選中的編號，不再是做標記，而是直接移除，因為從連結串列移除一個元素的時間複雜度很低，為 O(1)。當然，上面陣列的方法你也可以採用移除的方式，不過陣列移除的時間複雜度為 O(n)。所以採用連結串列的解決方法如下：

1、先建立一個環形連結串列來存放元素：

2、然後一邊遍歷連結串列一遍刪除，直到連結串列只剩下一個節點，我這裡就不全部演示了

程式碼如下：

// 定義連結串列節點
class Node{
    int date;
    Node next;

    public Node(int date) {
        this.date = date;
    }
}

核心程式碼

    public static int solve(int n, int m) {
        if(m == 1 || n < 2)
            return n;
        // 建立環形連結串列
        Node head = createLinkedList(n);
        // 遍歷刪除
        int count = 1;
        Node cur = head;
        Node pre = null;//前驅節點
        while (head.next != head) {
            // 刪除節點
            if (count == m) {
                count = 1;
                pre.next = cur.next;
                cur = pre.next;
            } else {
                count++;
                pre = cur;
                cur = cur.next;
            }
        }
        return head.date;
    }

    static Node createLinkedList(int n) {
        Node head = new Node(1);
        Node next = head;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            Node tmp = new Node(i);
            next.next = tmp;
            next = next.next;
        }
        // 頭尾串聯
        next.next = head;
        return head;
    }

這種方法估計是最多人用的，時間複雜度為 O(n * m),空間複雜度是 O(n)。

還有更好的方法嗎？答有，請往下看

方法三：遞迴

其實這道題還可以用遞迴來解決，遞迴是思路是每次我們刪除了某一個士兵之後，我們就對這些士兵重新編號，然後我們的難點就是找出刪除前和刪除後士兵編號的對映關係。

我們定義遞迴函式 f(n，m) 的返回結果是存活士兵的編號，顯然當 n = 1 時，f(n, m) = 1。假如我們能夠找出 f(n，m) 和 f(n-1，m) 之間的關係的話，我們就可以用遞迴的方式來解決了。我們假設人員數為 n, 報數到 m 的人就自殺。則剛開始的編號為

…
1
…
m - 2

m - 1

m

m + 1

m + 2
…
n
…

進行了一次刪除之後，刪除了編號為 m 的節點。刪除之後，就只剩下 n - 1 個節點了，刪除前和刪除之後的編號轉換關係為：

刪除前 — 刪除後

… — …

m - 2 — n - 2

m - 1 — n - 1

m ---- 無(因為編號被刪除了)

m + 1 — 1(因為下次就從這裡報數了)

m + 2 ---- 2

… ---- …

新的環中只有 n - 1 個節點。且刪除前編號為 m + 1, m + 2, m + 3 的節點成了刪除後編號為 1， 2， 3 的節點。

假設 old 為刪除之前的節點編號， new 為刪除了一個節點之後的編號，則 old 與 new 之間的關係為 old = (new + m - 1) % n + 1。

注：有些人可能會疑惑為什麼不是 old = (new + m ) % n 呢？主要是因為編號是從 1 開始的，而不是從 0 開始的。如果 new + m == n的話，會導致最後的計算結果為 old = 0。所以 old = (new + m - 1) % n + 1.
這樣，我們就得出 f(n, m) 與 f(n - 1, m)之間的關係了，而 f(1, m) = 1.所以我們可以採用遞迴的方式來做。程式碼如下：

int f(int n, int m){
    if(n == 1)   return n;
    return (f(n - 1, m) + m - 1) % n + 1;
}

我去，兩行程式碼搞定，而且時間複雜度是 O(n)，空間複雜度是O(n)，牛逼！那如果你想跟別人說，我想一行程式碼解決約瑟夫問題呢？答是沒問題的，如下：

int f(int n, int m){
    return n == 1 ? n : (f(n - 1, m) + m - 1) % n + 1;
}

臥槽，以後面試官讓你手寫約瑟夫問題，你就扔這一行程式碼給它。

總結

不過那次筆試時，並沒有用遞迴的方法做，而是用連結串列的方式做，，，，，那時，不知道原來還能用一行程式碼搞定的，，，，歡迎各位大佬提供半行程式碼搞定的方法！

看完有收穫？那麼希望老鐵別吝嗇你的三連擊哦

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作者簡潔

作者：帥地，一位熱愛、認真寫作的小夥，目前維護原創公眾號：『苦逼的碼農』，以寫了150多篇文章，專注於寫 演算法、計算機基礎知識等提升你內功的文章，期待你的關注。
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