約瑟夫環問題

江上舟搖發表於2022-01-30

做約瑟夫的時候被難住了一次，第一次寫部落格就拿約瑟夫開刀吧（壞笑），並且在網上找到的約瑟夫題解有些迷茫（我是演算法小zz），所以發表一下我的見解

首先認識一下什麼是約瑟夫問題：

n 個人的編號是 1~n，如果他們依編號按順時針排成一個圓圈，從編號是1的人開始順時針報數。
　　（報數是從1報起）當報到 k 的時候，這個人就退出遊戲圈。下一個人重新從1開始報數。
　　求最後剩下的人的編號。這就是著名的約瑟夫環問題。

　　本題目就是已知 n，k 的情況下，求最後剩下的人的編號。

　　題目的輸入是一行，2個空格分開的整數n, k
　　要求輸出一個整數，表示最後剩下的人的編號。

對於這種問題，我們可以把這這個類比成一個圓桌，每次刪除固定的元素然後一直到只剩下一個元素為止，在輸出這個元素

我們可以採取STL函式庫中的vector，用動態陣列解決這個問題，程式碼如下

：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
　　int n,m;
　　cin>>n>>m;
　　vector<int>a;
　　int i;
　　a.clear();
　　for(i=0;i<n;i++)
　　a.push_back(i+1);
　　int pos=0;
　　for(i=0;i<n;i++)
{
　　pos=(pos+m-1)%a.size();
　　a.erase(a.begin()+pos);
　　　　if(a.size()==1)
{
　　cout<<a[0]<<endl;
　　break;
　　}
　　　　}

return 0;
}

 

 

但是很遺憾，兩個平臺都給的是TLE，這是為什麼呢？

其實很容易相同，在一個迴圈中頻繁的刪除元素，就要把這個元素的後面所有元素向後移或者前移動，多次移動就會導致效率很低，所以不得不思考別的解法；

分析一下：

對於任意的n,k；

我們可以設定f(q)為每次踢出第q個人最後的結果

：

0 1 2 3 4 5 6 .... n-1;

q q+1 q+2...........q-2（我們要kick off的是q+1這位兄臺）；

再次重複一下，將新的被殺的後一個人作為新的0號，於是新的如下：

0 1 2 3 4 5 .......n-2；

遞推一下：

然後在想，

先是n個人玩這個遊戲，編號從0->n-1，數m退出，當第一個m-1號人退出後，就變成了n-1個人玩這個遊戲了，將這n-1個人重新編號，如圖，會發現是由（原來的編號 - m）得到這重新編的號。那麼這時問題變成了n-1個人玩這個遊戲了，設f(n)表示n個人數m退出時問題的解，那麼f(n-1)是n-1個人數m退出時問題的解，假設f(n-1)已求出，那麼：
　f( n ) = f(n - 1) + m;
　並且是迴圈刪除，所以
　　f( n ) = (f(n - 1) + m)%n;
　　那麼,當得知f(n-2)的解時，反推至f(n-1)時，需要編號不超過n-1,因此等式為：
　　f（n-1）=(f(n-2) + m) % n-1;
　　那麼推廣到一般：f( n ) = (f (in- 1) + m )% n;
到最後剩下一個人的時候直接輸出下標0就可以啦；

附上程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int yuesefu(int n,int m)
{
    if(n==1)
    return 0;
    else
    return ((yuesefu(n-1,m)+m)%n);
}
int main()
{
    int n,k;
    cin>>n>>k;
    cout<<yuesefu(n,k)+1<<endl;
    return 0;
}

 

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