無向圖的最小環問題

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思路

這道題的$n$的資料很小，$n\le 100$，所以我們就可以用$Floyd$演算法來解決。
我們演算法模板：

for(int k=1;k<=n;k++) {
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=1;j<=n;j++) {
			if(f[i][j]>f[i][k]+f[k][j])
				f[i][j]=f[i][k]+f[k][j];
		}
	}
}

每一次最外層迴圈，我們都求到了前$k$的最短路。且這$k-1$個點不包括點$k$，並且他們的最短路徑中也不包括$k$點。
我們就可以在這前$k-1$個點中選二個點$i,j$，因為 $i-j$已經是 $(i,j)$間的最短路徑，且這個路徑不包含 $k$點。(注意，這兒的$i-j$可能不是$(i,j)$之間的最短路，但絕對是不經過$k$以上點的最短路。)

所以連線$i-j-k-i$，我們就得到了一個經過$i,j,k$的最小環。
最後每次更新$ans$的最小值即可。

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF=1e13;
int n,m;
long long a[105][105],f[105][105],ans=INF;

int main() {
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=1;j<=n;j++)
			a[i][j]=f[i][j]=INF;
		a[i][i]=f[i][i]=0;
	}
	
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		long long u,v,w;
		scanf("%lld %lld %lld",&u,&v,&w);
		a[u][v]=f[u][v]=w,a[v][u]=f[v][u]=w;
	}
	
	for(int k=1;k<=n;k++) {
		for(int i=1;i<n;i++) {
			for(int j=i+1;j<k;j++)
				if(f[i][j]+a[i][k]+a[k][j]<ans)
					ans=f[i][j]+a[i][k]+a[k][j];
		}
		
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			for(int j=1;j<=n;j++) {
				if(f[i][j]>f[i][k]+f[k][j])
					f[i][j]=f[i][k]+f[k][j];
			}
		}
	}
	if(ans==INF) printf("No solution.");
	else printf("%lld",ans);
	return 0;
}