作者：Grey
原文地址：陣列的最小不可組成和問題
題目說明
連結：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/296c2c18037843a7b719cf4c9c0144e4
來源：牛客網給定一個全是正數的陣列arr，定義一下arr的最小不可組成和的概念：
1，arr的所有非空子集中，把每個子集內的所有元素加起來會出現很多的值，其中最小的記為min，最大的記為max；
2，在區間[min,max]上，如果有一些正數不可以被arr某一個子集相加得到，那麼這些正數中最小的那個，就是arr的最小不可組成和；
3，在區間[min,max]上，如果所有的數都可以被arr的某一個子集相加得到，那麼max+1是arr的最小不可組成和；
舉例： arr = {3,2,5}
arr的min為2，max為10，
在區間[2,10]上，4是不能被任何一個子集相加得到的值中最小的，所以4是arr的最小不可組成和；
arr = {3,2,4}
arr的min為2，max為9，
在區間[2,9]上，8是不能被任何一個子集相加得到的值中最小的，所以8是arr的最小不可組成和；
arr = {3,1,2} arr的min為1，max為6，
在區間[2,6]上，任何數都可以被某一個子集相加得到，所以7是arr的最小不可組成和；
請寫函式返回arr的最小不可組成和。
思路
首先我們設定兩個變數，max和min用於記錄陣列累加得到的最大值，和當陣列不為空累加得到的最小值。那麼在陣列非空狀態下，累加和一定在[min, max]區間內。我們設定
boolean[][] dp = new boolean[arr.length][max + 1];
其中dp[i][j]表示[0....i]範圍內的元素任意累加，能否組成j這個累加和。
顯然有
// 0元素可以組成arr[0]這個累加和
dp[0][arr[0]] = true;
for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
// 0..i上一個元素都不用，可以組成0這個累加和
dp[i][0] = true;
}
這樣我們得到dp這個陣列第一行和第一列的情況。
然後我們可以推導普遍位置
dp[i][j] = dp[i - 1][j] || (j - arr[i] >= 0 && dp[i - 1][j - arr[i]]);
其含義為：
[0...i]範圍內，任意選擇，能否組成j這個累加和，其實包括了兩種情況：
情況1：[0...i-1]範圍內，任意選擇，能否組成j這個累加和，如果可以，說明dp[i][j]=true
情況2：[0...i-1]範圍內，任意選擇，能否組成j-arr[i]這個累加和（注意不能越界），如果可以，說明dp[i][j] = true
所以，普遍位置的求法如下
for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
for (int j = 1; j < max + 1; j++) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] || (j - arr[i] >= 0 && dp[i - 1][j - arr[i]]);
}
}
經過上述處理，dp已全部填好，接下來就是判斷dp中第一個為false的位置，即為答案
for (int i = min; i <= max; i++) {
if (!dp[arr.length - 1][i]) {
return i;
}
}
如果上述過程沒有找到，則返回max+1，完整程式碼如下
public static int getFirstUnFormedNum(int[] arr) {
int min = arr[0];
int max = arr[0];
for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
max += arr[i];
min = Math.min(min, arr[i]);
}
// 可以到的範圍是[min,max]
// dp[i][j] 0....i能否組成j
boolean[][] dp = new boolean[arr.length][max + 1];
// 第0行 除了下述位置，其他位置都是false
dp[0][arr[0]] = true;
for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
// 0..i上一個元素都不用，可以組成0這個累加和
dp[i][0] = true;
}
for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
for (int j = 1; j < max + 1; j++) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] || (j - arr[i] >= 0 && dp[i - 1][j - arr[i]]);
}
}
for (int i = min; i <= max; i++) {
if (!dp[arr.length - 1][i]) {
return i;
}
}
return max + 1;
}
進階
連結：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/a689a05f75ff4caaa129b1f971aeb71e
來源：牛客網給定一個正數陣列arr，其中所有的值都為整數，以下是最小不可組成和的概念
把arr每個子集內的所有元素加起來會出現很多值，其中最小的記為min，最大的記為max
在區間[min, max]上，如果有數不可以被arr某一個子集相加得到，那麼其中最小的那個數是arr的最小不可組成和
在區間[min, max]上，如果所有的數都可以被arr的某一個子集相加得到，那麼max+1是arr的最小不可組成和
請寫函式返回正數陣列arr的最小不可組成和
保證1一定出現過！
時間複雜度為O(n)，額外空間複雜度為O(1)
主要思路：
如果一定有1這個數，那麼如果將這個正數陣列排序後，0位置上的值一定是1，設定一個變數range，初始值為1，表示當前可以搞定的最小正整數的範圍，
接下來我們要通過遍歷整個陣列來擴充range的範圍，假設[0.....i-1]上可以讓range擴充到b這個值，i位置上的值假設是a，如果
a <= b + 1
則遍歷到i位置，可以讓range的值擴充到a + b,
如果
a > b + 1
則b + 1就是整個陣列的最小不可組成和，可以直接返回。完整程式碼如下：
public static long unformedSum(long[] arr) {
if (arr == null || arr.length == 0) {
return 0;
}
Arrays.sort(arr);
long range = 1;
for (int i = 1; i != arr.length; i++) {
if (arr[i] > range + 1) {
return range + 1;
} else {
range += arr[i];
}
}
return range + 1;
}