好題——數學與資料結構

前言

本文章將會持續更新，主要是一些個人覺得比較妙的題，主觀性比較強（給自己記錄用的），有講錯請補充。

帶 ！號的題是基礎例題，帶 * 號的是推薦首先完成的題（有一定啟發性的）。

組合數

P6620 [省選聯考 2020 A 卷] 組合數問題

運用斯特林數好的例題，普通冪轉下降冪。用到第二類斯特林數。

\[x^{\underline n}= \sum_{i=0}^{n} \lbrace ^n _i \rbrace x^i \]

下降冪處理方式：先轉為階乘形式，後轉為組合數形式。如

\[x^{\underline n}=\binom{x}{n}*n! \]

這題按照題目推式子，主要卡點就是斯特林數的運用。

*高橋君

組合數與資料結構的結合。

離線詢問+ (\(n=10^{5}\)) 的資料範圍可以聯想到莫隊。

又透過歸納恆等式可以推出 \(n,k\) 分別左移或右移的式子。

\[\sum_{i=0}^{k+1}\binom{n}{i}=\sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}+\binom{n}{k+1} \]

\[\sum_{i=0}^{k-1}\binom{n}{i}=\sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}-\binom{n}{k-1} \]

\[\sum_{i=0}^{k}\binom{n+1}{i}=2*\sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}-\binom{n}{k} \]

\[\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}=\frac{1}{2}*(\sum_{i=0}^{k} \binom{n+1}{i}+\binom{n}{k}) \]

注意莫隊的正確寫法,\(n,k\)的大小關係。

Lonely Mountain Dungeons

首先貪心，每個種族平均分肯定是更優的，所以先設分成 \(k\) 組，設 \(y=\dfrac{c_i}{k}\) 向下取整，\(y_1=\dfrac{c_i}{k}\) 向上取整，\(mod=c_i\% k\)，那每個種族可以分出：

\[C_{mod}^2 \times y_1^2+C_{k-mod}^2 \times y^2+mod\times (k-mod) \times y \times y_1 \]

暴力求時間複雜度報表，分為三種方法最佳化方法了。

方法1：三分法。

上式化簡下來一定是關於 \(k\) 的二次函式，顯然隨著 \(k\) 的增大，值先增大，後減小，是個單峰函式（可以打表試試）。

然後普通三分就可以了。

方法2：差分字首和法（也是官方題解的方法）

定義 \(f[k]\) 為分為 \(k\) 個小組的最大方案。

可以發現當 \(k>c_i\) 時，當前種族的值是不變的。

\(\sum c_i\) 是 \(2\times 10^5\)，所以遍歷所有 \(1\) 到 \(n\)，讓 \(f[j]\) 加上每個種族的貢獻。因為當 \(i\) 超過 \(c[j]\) 時，後面的值不變，所以用差分來處理。

for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<c[i];j++)
		f[j]+=get(i,j)*b,f[j+1]-=get(i,j)*b;
		f[c[i]]+=get(i,c[i])*b;
	}

最後遍歷小組數即可。

方法3：

與上中方法類似，我們知道 $k $ 一定不大於 \(maxc\)，按 \(c\) 的大小從小到大排序，從 \(2\) 到 \(n\) 列舉小組數，小於 \(i\) 的種族就暴力計算，大於的因為值都不變了，拿一個陣列記錄一下字首即可。

時間複雜度可以證明不超過 \(O(n \sqrt {\sum c})\)