拋硬幣中的反射原理

在日常生活當中，拋硬幣是一種很常見的現象，在概率論的實驗中，那就更加常見了。但是就這簡單的拋硬幣，其中包含著許多高深精妙的定理，而且大多數定理往往與我們平時的直覺不相符，甚至有些是背道而馳的。人們要相信與自己直覺完全相違背的事實總是困難的，但是一旦自己親手從理論上嚴格地證明出來了，那時自己又會覺得不可思議，興奮不已，會深深地感受到自然是如此的美妙。今天我就介紹一下要證明這些高深定理的基礎原理——反射原理。

為了方便敘述，我們要引入幾何路徑模型，目的是為了將拋硬幣中的概念與該模型中的術語相聯絡。我們知道在理想情況下，拋一枚硬幣只有兩種結果：正面和反面。我們用+1來表示正面，用-1來表示反面，這樣拋硬幣的一個結果序列就是一個由+1和-1構成的排列。接下來我將給出幾何模型的數學定義：

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：表示拋第k次硬幣的結果：+1或-1，即：
：表示部分和，即拋k次硬幣後的結果累積和，公式為：
n：表示拋硬幣的總次數
p：表示拋n次硬幣中出現正面的次數
q：表示拋n次硬幣中出現反面的次數

於是我們有如下公式：

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現在我們將用幾何術語在直角座標系中描述上面幾何路徑模型的數學定義：t-軸是橫軸，軸上每個座標點表示拋硬幣的次數；x-軸是縱軸，軸上每個座標點表示拋硬幣結果序列的累積和。所以我們拋了n次硬幣後得到的結果序列可以在該直角座標系上用一條折線表示，折線上每一這點的座標就是，我們稱這種折線為路徑。

因此，我們稱一條從原點(0,0)到點(n,x)（其中n>0且n和x都是整數）的路徑就是滿足如下條件的一條折線：其橫座標依次為，縱座標依次為：，且，當然也要滿足上述幾何路徑模型數學定義中的所有公式。依據上述數學定義，我們知道要使該路徑存在必須滿足：n=p+q且x=p-q，這時由排列組合知識馬上就得到從原點(0,0)到點(n,x)的總共有的路徑數為，即，用表示，即，於是我們可以說從原點(0,0)到點(n,x)的總共有的路徑數為條。如果該路徑不滿足條件：n=p+q且x=p-q，則不存在該路徑，即。

到這裡我已經介紹完了幾何路徑模型的所有的術語，可以開始介紹反射原理了，其表述如下：

反射原理：在t-x直角座標系的第一象限中存在兩個點A和B，其中點A關於t-軸的對稱點為點A°，那麼，從點A到點B的路徑中觸及或穿過t-軸的路徑個數等於從點A°到點B的路徑個數。

為了方便證明，我給出一張示意圖，如下：
從示意圖中我們看出反射原理很容易證明。從點A到點B的路徑中觸及或穿過t-軸的路徑都會與t-軸有個接觸點，如上圖中的T點，這時就可以將A到T的這段路徑關於t-軸對稱過去，這樣就必然會得到了一條新的路徑，如上圖中的虛線部分：A°到T的折線。因此，任何從點A到點B的路徑中觸及或穿過t-軸的路徑通過t-軸對稱之後，必然存在一條與之對應的從點A°到點B的路徑，反之，從點A°到點B的每一條路徑必然會與t-軸相交，因此也必然存在一條從點A到點B的路徑中觸及或穿過t-軸的路徑與之相對應，所以它們是一一對應的。故此反射原理得證。

到這裡你也許還看不出反射原理有什麼巨大的威力，那麼下面我就僅例舉一個小小的例子，你就會驚歎於反射原理的無窮的魅力了。

該例子是一個經典的問題，其中最早的一種表述形式如下：

假設在一場選舉中，候選人P獲得p張選票而候選人Q獲得了q張選票，此處p>q，那麼，在整個的計票過程中，P的得票數總是比Q的得票數多的概率是多少？

這個問題被稱為選舉問題，早在1878年就被人解答出來過，我們現在無法知道他是怎麼解出來的。但是通過反射原理，我們可以很輕鬆地解出這道經典的題目。首先我用前面定義的幾何路徑模型的術語來重新表述這個題目（為了一致性，我還是使用定義中的符號）：對於滿足條件n=p+q和x=p-q的所有路徑中，求滿足的路徑的概率是多少？

首先，根據前面我們知道滿足條件n=p+q和x=p-q的所有路徑數為，而滿足的路徑也就是從點（1,1）到點（n，x）的路徑中從不觸及或穿過t-軸的路徑，這些路徑我們可以通過從點（1,1）到點（n，x）的總路徑數減去從點（1,1）到點（n，x）的所有觸及或穿過t-軸的路徑。運用反射原理，從點（1,1）到點（n，x）的所有觸及或穿過t-軸的路徑數等於從點（1,-1）到點（n，x）的所有路徑數。所以我們現在只要求出從點（1,1）到點（n，x）的路徑數和從點（1,-1）到點（n，x）的路徑數就完全解決這個問題了。對於從點（1,1）到點（n，x）的路徑數，等價於從點（0,0）到點（n-1，x-1）的路徑數，即；對於從點（1,-1）到點（n，x）的路徑數，等價於從點（0,0）到點（n-1，x+1）的路徑數，即。所以該題解答出的概率為：
，其中n=p+q和x=p-q，進一步推導如下：

所以在選舉問題的計票過程中P的得票數總是比Q的得票數多的概率是 。

現在你應該對反射原理的威力有了初步的瞭解了，適當的運用反射原理可以很容易地解決一些看似比較複雜的問題，當然這只是初步。在隨機起伏理論中還有許多由反射原理推匯出的精妙的定理，這些定理既在意料之外又在情理之中，真的是令人慾罷不能啊！