藍橋杯-矩陣翻硬幣

問題描述

　　小明先把硬幣擺成了一個 n 行 m 列的矩陣。

　　隨後，小明對每一個硬幣分別進行一次 Q 操作。

　　對第x行第y列的硬幣進行 Q 操作的定義：將所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬幣進行翻轉。

　　其中i和j為任意使操作可行的正整數，行號和列號都是從1開始。

　　當小明對所有硬幣都進行了一次 Q 操作後，他發現了一個奇蹟——所有硬幣均為正面朝上。

　　小明想知道最開始有多少枚硬幣是反面朝上的。於是，他向他的好朋友小M尋求幫助。

　　聰明的小M告訴小明，只需要對所有硬幣再進行一次Q操作，即可恢復到最開始的狀態。然而小明很懶，不願意照做。於是小明希望你給出他更好的方法。幫他計算出答案。

輸入格式

　　輸入資料包含一行，兩個正整數 n m，含義見題目描述。

輸出格式

　　輸出一個正整數，表示最開始有多少枚硬幣是反面朝上的。

樣例輸入

2 3

樣例輸出

1

資料規模和約定

　　對於10%的資料，n、m <= 10^3；
　　對於20%的資料，n、m <= 10^7；
　　對於40%的資料，n、m <= 10^15；
　　對於10%的資料，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。

解題思路：因為硬幣最後都正面朝上，所以只要統計那些硬幣翻了奇數次就行了。

那麼怎麼求得那些硬幣翻了奇數次呢？

假如某個硬幣的位置是 a行 b列。

那麼是不是存在任意的組合 i*x=a ，j*y=b。就可以翻硬幣。

易知，翻硬幣的次數  times = （a的約數的個數）*（b的約數的個數）。

易知，奇數乘奇數才能得到奇數。

而且約數個數為奇數的數只能是平方數！

因此最後結果為（n的開方數）*（m的開方數）。

 

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ps：程式碼通過率90%

 

程式碼如下：

 

#include<iostream>
#include<bits/stdc++.h>
#include<string>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

string Multstr(string str1,string str2){   //大數相乘

    string strResult = "";
    int len1 = str1.length();
    int len2 = str2.length();
    int num[500] = {0};
    for(int i=0;i<len1;i++){
        for(int j=0;j<len2;j++){
            num[len1-1-i+len2-1-j]+=(str1[i]-'0')*(str2[j]-'0');
        }
    }
    for(int i=0;i<len1+len2;i++){
        num[i+1]+=num[i]/10;
        num[i]=num[i]%10;
    }
    int a=0;
    for(int i=len1+len2-1;i>=0;i--){
        if(num[i]!=0){
            a=i;break;
        }
    }
    for(int i=a;i>=0;i--){
        strResult += num[i]+'0';
    }
    return strResult;
}
string Big_sqrt(string a){   //大數開方
    int alen =a.length();
    string asqrt="";
    if(alen%2==0){
        for(int i=0;i<alen/2;i++){
            asqrt+="0";
        }
    }else{
        for(int i=0;i<alen/2+1;i++){
            asqrt+="0";
        }
    }
    int now=0;
    string sum1,sum2;
    sum1=Multstr(asqrt,asqrt);
    while( alen%2==0 ? now!=alen/2 : now!=alen/2+1){
        string tmp1=asqrt;
        for(int i=0;i<9;i++){
            tmp1[now]=tmp1[now]+1;
            sum2=Multstr(tmp1,tmp1);
            if(sum1==a){
                return asqrt;
            }
            if(sum1<=a&&sum2>a&&sum2.length()==a.length()){
                break;
            }
            if(sum1<=a&&sum2.length()>a.length()){
                break;
            }
            asqrt=tmp1;
            sum1=sum2;
        }
        now++;
    }
    return asqrt;
}
int main(){
    string a,b;
    cin>>a>>b;
    string a1,b1;
    a1=Big_sqrt(a);
    b1=Big_sqrt(b);
    cout<<Multstr(a1,b1)<<endl;
    return 0;
}