藍橋杯-地宮取寶

小程xy發表於2024-05-09

X 國王有一個地宮寶庫，是 n×m 個格子的矩陣，每個格子放一件寶貝，每個寶貝貼著價值標籤。

地宮的入口在左上角，出口在右下角。

小明被帶到地宮的入口，國王要求他只能向右或向下行走。

走過某個格子時，如果那個格子中的寶貝價值比小明手中任意寶貝價值都大，小明就可以拿起它（當然，也可以不拿）。

當小明走到出口時，如果他手中的寶貝恰好是 k 件，則這些寶貝就可以送給小明。

請你幫小明算一算，在給定的局面下，他有多少種不同的行動方案能獲得這 k 件寶貝。

輸入格式

第一行 3 個整數，n,m,k，含義見題目描述。

接下來 n 行，每行有 m 個整數 Ci 用來描述寶庫矩陣每個格子的寶貝價值。

輸出格式

輸出一個整數，表示正好取 k 個寶貝的行動方案數。

該數字可能很大，輸出它對 1000000007 取模的結果。

資料範圍

1≤n,m≤50,
1≤k≤12,
0≤Ci≤12

輸入樣例1：

2 2 2
1 2
2 1

輸出樣例1：

2

輸入樣例2：

2 3 2
1 2 3
2 1 5

輸出樣例2：

14

題解:

dp分析:

常見問題: 為什麼取第(i,j)物品的時候要滿足 c == w[i][j] ？ 以及為什麼狀態轉移方程2 為什麼是0...c累加

  • 我們原本定義了f[i][j][k][c]表示的是 在第(i, j)上的, 取了k個物品且這k個物品的最大值不超過c, 這裡我們假設把f[i][j][k][c]表示成 在第(i, j)上的, 取了k個物品且這k個物品的最大值等於c, 這時候需要滿足(w[i][j] == c)應該能理解吧。
  • 那我們要想讓我們假設的變成原本表示的含義, 需要讓 f[i][j][k][c] 累加上 f[i][j][k][t] t要滿足小於c, 這樣我們f[i][j][k][c]表示的集合就從假設的變成了原本的, 但是如果f[i][j][k][c]不滿足假設的含義, 那麼我們沒法讓f[i][j][k][c]表示成原本的含義
  • 所以取(i,j)上的物品是要滿足(w[i][j]==c) 是為了能夠更好的計算出正確含義的f[i][j][k][c]的值

Orz筆者是這麼理解的~

詳細的狀態轉移如下圖:

注意事項:

我們f陣列的第四維是代表 最大值不超過c, 但是題中 c = [0,12], 由於當我們沒有選擇任何一個物品的時候應該表示成-1, 但是下標沒法是負的, 所以我們可以把每個 c 都加1, 也就是w[i][j] + 1. 這樣我們 f 的第四維在沒有取任何物品時就可以用 下標 0 表示了

看不懂的話, 可以先看這兩個題, 摘花生 和 最長上升子序列, 本題是前兩道題的揉和

ac程式碼👇

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 55, MOD = 1000000007;
 
int w[N][N], n, m, k;
int f[N][N][13][14];    
 
int main()
{
    cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++) cin >> w[i][j], w[i][j] ++;
    
    // 初始化
    f[1][1][1][w[1][1]] = 1;  // 取
    f[1][1][0][0] = 1;        // 不取
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++)
        {
            if (i == 1 && j == 1) continue; // 初始話的跳過
            for (int u = 0; u <= k; u ++)
                for (int v = 0; v <= 13; v ++)
                {
                    f[i][j][u][v] = (f[i][j][u][v] + f[i][j - 1][u][v]) % MOD;  // 狀態計算 1
                    f[i][j][u][v] = (f[i][j][u][v] + f[i - 1][j][u][v]) % MOD;  // 狀態計算 2
                    if (u > 0 && w[i][j] == v)    // u > 0 加不加都行, 不影響答案, 因為 u == 0的時候表示什麼都沒選, 進入下面的迴圈也沒意義
                    {
                        for (int c = 0; c < v; c ++)  // 常見問題解釋的就是這裡, 需要加上比 v 小的f, 才能讓 f[i][j][k][c]表示的含義正確
                        {
                            f[i][j][u][v] = (f[i][j][u][v] + f[i][j - 1][u - 1][c]) % MOD; // 狀態計算 3
                            f[i][j][u][v] = (f[i][j][u][v] + f[i - 1][j][u - 1][c]) % MOD; // 狀態計算 4
                        }
                    }
                }
        }
    int res = 0;
    for (int i = 0; i <= 13; i ++) res = (res + f[n][m][k][i]) % MOD;
    cout << res << endl;
    return 0;
}

覺得寫的不錯的話, 點個贊吧~

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