TopCoder13696 Morphling
前置知識：泰勒展開，符號化方法，無標號無根樹計數
我們考慮我們目前序列為 \(a\)，然後從每個 \(i\to a_i\) 連邊，得到一顆基環樹。
我們考慮一次 \((x,y)\) 的影響，原本連向 \(x\) 的邊連向了 \(y\)，原本連向 \(y\) 的邊連向了 \(x\)，而 \(x,y\) 連向的邊互換了，我們可以看成交換了 \(x,y\) 兩個節點的編號。
那麼我們實際上就要對入度小於等於 \(k\) 的無標號基環樹森林計數。
我們把它分成三個部分環上每個點的子樹，環的方案樹，基環樹森林。
首先我們考慮計數每個兒子個數不超過 \(k\)，根節點兒子個數不超過 \(k-1\) 的無根樹計數。
我們考慮無標號無根樹計數我們怎麼做的，我們考慮設其生成函式為 \(F(z)\)，則我們得到：
\[F(z)=zMSET(F(z))=
z\mathcal E(F(z))
\]
而
\[\begin{aligned}
MSET(F(z))&=\mathcal E(F(z))\\
&=\prod_{n\ge 0}\frac 1 {1-z^{\alpha_n}}\\
&=\prod_{n\ge 0}\frac 1 {(1-z^n)^{f_n}}\\
\ln \mathcal E(F(z))&=\sum_{n\ge 0}-f_n\ln(1-z^n)\\
&=\sum_{n\ge 0}f_n\sum_{j\ge 1}\frac {z^{jn}}j\\
&=\sum_{j\ge 0}\frac 1 j\sum_{n\ge 0}f_n(z^j)^n\\
&=\sum_{j\ge 0}\frac {F(z^j)}j\\
\mathcal E(F(z))&=\exp (\sum_{j\ge 0}\frac {F(z^j)}j)
\end{aligned}
\]
然後我們考慮加入兒子個數的限制，我們增加一個元 \(y\)：
\[\begin{aligned}
MSET(F(z))&=\prod_{n\ge 0}\frac 1 {1-z^{\alpha_n}y}\\
&=\prod_{n\ge 0}\frac 1 {(1-z^ny)^{f_n}}
\end{aligned}
\]
首先這個似乎可以求偏導後遞推，但是我們考慮另外一種做法。
我們考慮從小到大處理 \(f_i\)，每次知道 \(f_{1\sim i-1}\) 後我們能計算出 \(f_i\)。
然後我們考慮計算複雜度， \(z\) 次數不超過 \(n\)，\(y\) 度數不超過 \(k\)，然後我們可以暴力二維卷積，時間複雜度 \(O(nk\times \sum_{i=1}^n\frac n i)=O(n^2k\ln n)\)。
然後我們考慮得到一顆子樹的生成函式後環上怎麼做，我們發現就是一個 CYC 構造即可。
此時我們已經得到了一棵基環樹的生成函式，我們考慮如何擴充到森林，由於 \(MSET(F)\) 的組合意義，我們知道，我們對得到的 \(F\) 進行尤拉變換就能得到最後的答案。