抄書——泛函分析講義（上冊）張恭慶——1.3列緊集

“ 列緊 ”是用來描述距離空間中一個子集具有某方面的自身特性。凡是具有 列緊 特性的子集（集合），由其元素構成的任意無盡點列（元素點構成的序列），皆存在收斂子列（子序列）。此處用“無盡”表示點列中元素數量的無窮，以避免與點列自身數值的“無窮”相混淆。
定義1：集合是列緊的
設 $(\mathcal H,\rho)$ 是一個距離空間，$A$ 是其一子集，稱 $A$ 是 列緊 的，如果 $A$ 中任意點列在 $(\mathcal H,\rho)$ 中有一個收斂子列。若這個子列還收斂到 $A$ 中的點，則稱 $A$ 是 自列緊 的。如果 $\mathcal H$ 是列緊的，那麼稱 $(\mathcal H,\rho)$ 為 列緊空間 。
$\mathcal H$ 是全集，$\rho$ 是其上定義的距離，合起來形成 pair 對 $(\mathcal H,\rho)$，是空間。有關係：$A \subseteq \mathcal H$，$A$若是子集，則區域性列緊；若$A$是全集，則全域性列緊。

$\epsilon$ 網 是指距離空間中某型別的子集，它表達的是子集與空間的關係*。
定義2：有窮 $\epsilon$ 網
設 $M$ 是 $(\mathcal H,\rho)$ 的一個子集，$\epsilon\gt0,N\subset M$。如果對於$\forall x\in M$，即空間中任意點，$\exist y\in N$，使 $\rho(x,y)\lt\epsilon$，那麼稱 $N$ 是 $M$ 的一個 $\epsilon$ 網。如果 $N$ 還是一個有窮集（個數依賴 $\epsilon$），那麼稱 $N$ 為 $M$ 的一個 有窮 $\epsilon$ 網。
定義3：完全有界
集合 $M$ 稱為是完全有界的，如果 $\forall \epsilon\gt 0$，都存在著集合 $M$ 的一個有窮 $\epsilon$ 網。

定理1：Hausdorff
$M\text{列緊}\Leftarrow\Rightarrow M\text{完全有界}$
定理2：空間的可分性
$M\text{完全有界 }\Rightarrow M\text{可分}$
什麼叫“可分”呢？
定義4：Hausdorff可分
一個距離空間若有可數的稠密子集，就稱為是可分的。
定義5：稠密子集
設 $(\mathcal H,\rho)$ 是一個度量空間。集合 $E\subset\mathcal H$ 叫做在 $\mathcal H$ 中的稠密子集，如果 $\forall x\in\mathcal H,\forall\epsilon\gt 0,\exist z\in E$，使得 $\rho(x,z)\lt \epsilon$。換句話來說： $\forall x\in\mathcal H,\exist\{x_n\}\subset E$，使得 $x_n\rightarrow x$。
子集$E$其實充滿了整個空間，打個比喻：一個空氣空間（全集$\mathcal H$），氧氣（子集$E$）就是稠密的。空氣盒子中除了氧氣，還有氮氣、二氧化碳等，這些可數的稠密子集，因此空氣是可分的。完全有界的空氣盒子是可分的。
將一個抽象概念具象化、例項化，對理解很有幫助。
舉例：
實數空間可分為大於0部分($R^+$)和小於等於0部分($R^-$)，但這不是Hausdorff可分，因為$R^+$和$R^-$都不是在R中稠密的子集。實數空間可分為有理數部分和無理數部分，因為有理數和無理數在R中稠密。

定義6：集合是緊的
該定義與定義1很象，但含義不同，描述的是集合的不同方面性質。“列緊”指的是序列是緊的，單單一個“緊”指的是覆蓋是有窮的。而自列緊必緊，反之亦然。
定理2： 設 $(\mathcal H,\rho)$ 是一個距離空間，為了 $M\subset \mathcal H$ 是緊的必須而且僅須它是自列緊集。
證明：
1）必要性，即證明：$M$ 是緊集 $\Rightarrow$ $M$ 是自列緊。
設 $M$ 是緊集。先證 $M$ 是閉集，只要證 $M$ 的餘集是開集。$\forall x_0\in \mathcal H\setminus M$，因為
$M\subset\cup_{x\in M}B(x,\frac{1}{2}\rho(x,x_0))\qquad(1)$
【即閉集M是開球B的並，這些開球是以M中任意點$x$為心，到外部任意一點$x_0$距離的一半為半徑的球。因為x已然是M中點的所有了，以它與外部一點距離一半作球，必包含x，有可能在球中還包含非M的點，因此它們的並，必然覆蓋M。】
利用M的緊性，$\exist x_k\in M(k=1,2,\cdots,n)$，使得：
$M\subset\cup_{k=1}^{n}B(x_k,\frac{1}{2}\rho(x_k,x_0))\qquad(2)$
【(2)中球的並，不同於（1）中球的並。（2）中的球是有窮個開覆蓋，注意此處的球都是開集。】
取
$\delta=\min_{1\le k\le n}\frac{1}{2}\rho(x_k,x_0)$
顯然有，$\delta\gt 0$。取 $\forall x\in B(x_0,\delta)$，則顯然有
$\text{For }\quad\rho(x_k,x_0)\ge 2\delta,\rho(x_0,x)\lt\delta,\quad \text{so} \\ \ \\ \rho(x,x_0)\ge\rho(x_k,x_0)-\rho(x_0,x)\gt\delta\quad(k=1,2,\cdots,n)\qquad(3)$
因此，$B(x_0,\delta)\cap M=\empty$，有：
$\cup_{x_0\in \mathcal H\setminus M}B(x_0,\delta)=\mathcal H\setminus M \qquad(4)$
由於 $B(x_0,\delta)$ 是開集，無限開集的並還是開集，因此 $\mathcal H\setminus M$ 是開集，即 $M$ 是閉集。
其次，證M是列緊集，用反證法。
假設有M中的點列 $\{x_n\}$ 不含有收斂子列，不妨設 $x_n$ 是互異的。對每個 $n\in\mathbb N$，作集合 $S_n=\{x_1,x_2,\cdots,x_{n-1},x_{n+1},\cdots\}$，即挖掉了$x_n$，顯然每個$S_n$是閉集（因為$S_n$不包含收斂子列，即$S_n$不包含聚點，因此根據閉集定義(包含所有聚點，或不包含聚點的集為開集)，$S_n$是閉集。），從而每個$\mathcal H\setminus S_n$ 是開集。但
$\cup_{n=1}^{\infty}(\mathcal H\setminus S_n)=\mathcal H\setminus \cap_{n=1}^{\infty}S_n=\mathcal H\setminus \empty=\mathcal H\supset M\qquad(5)$
由$M$的緊性，即$M$存在有限的覆蓋，$\exist N\in \mathbb N$，使得 $\cup_{n=1}^N(\mathcal H\setminus S_n)\supset M$，即得
$\mathcal H\setminus \{x_n\}_{n=N+1}^{\infty}\supset M\qquad(6)$
但這是不可能的，因為$x_{N+1}$ 屬於(6)的右邊，而不屬於(6)的左邊，矛盾。因此，說明M是列緊的。
2）充分性：$M$ 是自列緊 $\Rightarrow$ $M$ 是緊集
設M是自列緊的，要在M的任意開覆蓋中取出有限覆蓋。用反證法，如果某個開覆蓋$\cup_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}\supset M$，不能取出M的有限覆蓋。由於M是列緊的(列緊->完全有界->有窮$\epsilon$網)，$\forall n\in\mathbb N$，存在有窮的$\frac{1}{n}$網：
$N_n =\{x_1^{(n)},x_2^{(n)},\cdots,x_{k(n)}^{(n)}\}$
顯然$\cup_{y\in N_n}B(y,\frac{1}{n})\supset M$，即由網上的元素的球體的並覆蓋M。因此，$\forall n\in\mathbb N,\exist y_n\in N_n$，使得$B(y_n,\frac{1}{n})$不能被有限個$G_{\lambda}$所覆蓋。
由於假定M是自緊集，必存在收斂子列$y_{n_k}$收斂到一點$y_0\in G_{\lambda 0}$。又由於$G_{\lambda 0}$是開集，所以$\exist \delta\gt 0$，使得$B(y_0,\delta)\subset G_{\lambda 0}$。對此，取k足夠大，使$n_k\gt \frac{1}{\delta}$，並且$\rho(y_{n_k},y_0)\lt \frac{\delta}{2}$，則$\forall x\in B(y_{n_k},\frac{1}{n_k})$有：
$\rho(x,y_0)\le\rho(x,y_{n_k})+\rho(y_{n_k},y_0)\le\frac{1}{n_k}+\frac{\delta}{2}\le\delta$
即$x\in B(y_0,\delta)$，從而$B(y_{n_k},1/n_k)\subset B(y_0,\delta)\subset G_{\lambda}$，即前面所說的不能覆蓋，現在可以覆蓋了，這與每個$B(y_n,1/n)$不能被有限個$G_{\lambda}$覆蓋矛盾。
證畢。
本節幾個概念之間的關係如下圖：

圖1 緊、列緊、完全有界

函式空間上的列緊集

定義7：一致有界
設 $F$ 是 $C(M)$ 的一個子集。如果 $\exist M_1\gt 0$，使得 $\vert\phi(x)\vert\le M_1(\forall x\in M,\forall \phi\in F)$，則稱 $F$ 是一致有界的。

定義8：等度連續
如果 $\forall \epsilon\gt 0$，總可以找到 $\delta(\epsilon)\gt 0$，使得：
$\vert \phi(x_1)-\phi(x_2)\vert\lt\epsilon,(\forall x_1,x_2\in M,\rho(x_1,x_2)\lt\delta,\forall \phi\in F)$
則稱 $F$ 是等度連續的。

定理3：（Arzela-Ascoli）
$F\subset C(M)$，$F$ 是一個列緊集 $\Leftarrow\Rightarrow$ $F$是一致有界且等度連續的函式族。

有了列緊性的函式族（集），則可以在距離空間、緊空間中討論函式的性質了。