冷知識：數學常數“e”的傳奇故事

自然對數的底e是一個令人不可思議的常數，一個由 lim (1+1/n)^n 定義出的常數，居然在數學和物理中頻頻出現，簡直可以說是無處不在。這實在是讓我們不得不敬畏這神奇的數學世界。

尤拉恆等式

但凡說起e，一個必定要提到的公式就是尤拉恆等式——被譽為世界上最美麗的公式。

數學中最基本的5個常數——0、1、圓周率π、自然對數的底e和虛數單位i，以及數學中最基本的兩個符號——等號和加號，就這樣通過一個簡單的恆等式聯絡在了一起，實在是讓人歎服。

這個等式有個一幾何的直觀解釋。一個實數在實數軸上可以用一個向量表示，旋轉這個向量，就相當於乘以一個虛數i。據此建立一個以實數為橫軸，虛數為縱軸的座標系。

實單位向量，每次逆時針旋轉π/2, 可以分別得到結果1,i,-1,-i,1. 即轉4次以後就回到了原位。而當實單位向量保持長度不變旋轉θ角度，得到的向量就是：cosθ+isinθ。

根據尤拉公式 e^iθ = cosθ+isinθ可以看出 e^iθ 就代表實單位向量1旋轉θ角後而得到的向量。所以 e^iπ 意味著單位向量逆時針旋轉了π，結果顯然是-1。

增長規律

這個世界上有許許多多的事物滿足這樣的變化規律：

• 增長率正比於變數自身的大小。例如放射性元素衰變的時候，衰變率就和現存的放射性物質多少成正比；

• 資源無窮多的社會，人口出生率將（近似的）和現存人口數成正比等等。

而此類變化規律所確定的解，則是由以e為底的指數增長所描述的：如果x的變化率等於變數x自身的λ倍，那麼該變數隨時間t的函式則為

其中C是任意常數。而e的直觀含義正是增長的極限，這個問題在 數學常數e的含義 中有過詳細的介紹。

正態分佈

正態分佈是自然科學與行為科學中的定量現象的一個統計模型。各種各樣的心理學測試分數和物理現象比如光子計數都被發現近似地服從正態分佈，儘管這些現象的根本原因經常是未知的。

而理論上則可以證明如果把許多小作用加起來看做一個變數，那麼這個變數服從正態分佈。

正態分佈在生活中也可謂是無處不在：

• 多次反覆測量一個物理量，測出來的值一般來說總是呈正態分佈；

• 瓶裝可樂的實際體積，也是正態分佈；

• 一大群人的壽命分佈、智商分佈等，也都是正態分佈。

而正態分佈的表示式中，也神奇的出現了e。

伽馬函式與斯特林公式

階乘運算n！本來是定義在正整數上的。數學家最愛做的事情就是推廣，因此階乘函式自然不能倖免。

當把階乘函式推廣到定義域為複數的時候，我們要尋找的函式就是一條通過了所有（n+1,n!）點的函式。所謂的伽馬函式Γ(x)滿足了這個性質，而伽馬函式的表示式中又出現了e:

階乘n!與e還有另一層神祕的聯絡。

當n趨於無窮大的時候，n!滿足下面的近似關係式——斯特林公式：

（其中“~”符號表示同階，可以大致認為是n趨於無窮大時的約等於）

要計算很大的階乘值，位數受限而不能直接用計算機求出時，就可以用斯特林公式近似求出了。

調和級數

所謂調和級數，即1+1/2+1/3+1/4+…+1/n+...。它是一個發散級數，當n趨於無窮大的時候，這個和也將趨於無窮大。但是同樣是發散的級數，發散也有快慢之分。調和級數發散速度是怎樣的呢？偉大的尤拉發現的一個著名極限給出了答案：

因此調和級數的發散速度正是和以e為底的對數——ln函式的發散速度一致。

素數與e

素數（或稱質數）是指除了1和它本身之外，無法被其他自然數整除的數。素數看似和e毫無聯絡，可是，素數分佈的理論指出，素數的分佈與e息息相關。如果用π(x)表示不大於x的素數個數（注意這裡的π不是圓周率！），那麼素數分佈中心定理指出：

或者可以寫成

注意到ln正是以e為底的對數。看，e就這樣出現在了看似毫無關係的領域！

懸鏈線

數學史上曾經有一個著名問題，稱之為懸鏈線問題：一根柔軟不可伸長的鏈子，兩頭固定在空間中的兩個定點上（這兩個點不一定要等高），鏈子形成的曲線是怎樣一條曲線呢？

這個問題和最速降線問題提出的時間很接近，而且參與者也大多相同。早在文藝復興時代它就已經被達芬奇研究過，可惜並沒有得到答案。伽利略猜想答案是拋物線，這也和很多人最初的感覺是一致的，可惜後來被惠更斯在17歲的時候證明是錯的。

和最速降線問題一樣，這一問題伯努利兄弟中的一個也曾公開徵集解答，不過這次是哥哥雅各布，他在1690年的《教師學報》中發表了這個問題。

在雅各布提出這一問題一年後的1691年6月，《教師學報》發表了惠更斯（當時已經62歲）、萊布尼茨以及約翰•伯努利提交的三份正確答案。

三人的方法都不一樣，但最終的結果卻是一致的。而雅各布自己則並沒能把它解出來，這讓弟弟約翰•伯努利異常興奮。懸鏈線的正確方程是這樣的：

它的發現在當時被看做是新微積分偉大成果的重要標誌。而現在，懸鏈線則在世界著名的標誌性建築物——密蘇里的聖路易斯大拱門——中永垂不朽了。

e一次次如幽靈般恰當的出現在了每一處，時常給人們帶來驚喜。而上述這些，只不過它的冰山一角而已。

END

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來源 |冷知識王子

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