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題意簡述

我們令$f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)d$，求下面式子在模$998244353$後的值：

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nf(gcd(i,j))\times f(lcm(i,j))$

其中$gcd$為最大公約數，$lcm$為最小公倍數。

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我們先來看一個例子：

求：
$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)\times lcm(i,j)$

很容易知道，這個可以這樣變換：

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)\frac{ij}{gcd(i,j)} \\ =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij \\ =\left(\sum_{i=1}^ni\right)\left(\sum_{j=1}^nj\right) \\\ \\ =\left(\sum_{i=1}^ni\right)^2$

所以我們看，原來的式子是否也能這樣變換。

首先我們可以知道$f=(\mu\cdot id)*\mathbf 1$（其中$*$為狄利克雷卷積）。

由於積性函式的乘積以及狄利克雷卷積仍舊為積性函式，所以$f$也為積性函式。

那麼我們考慮，對於一對$i,j$，我們根據唯一分解定理，假設：

$i=\prod p_x^{a_x} \\\ \\ j=\prod p_y^{b_y}$

那麼$f(gcd(i,j))\times f(lcm(i,j))$可以寫成：

$\prod f(p_w^{min(a_w,b_w)}) \prod f(p_w^{max(a_w,b_w)})$
（其中是因為積性函式$f(xy)=f(x)f(y)$，在$x\perp y$時（互質），所以將$i,j$拆開）

那麼我們將屬於$i$的放在一起，屬於$j$的放在一起，可以得到：

$\prod f(p_x^{a_x})\prod f(p_y^{a_y}) \\ =f(i)f(j)$

所以就可以按照前面的例子的做法，將其分開變換後可以得到，原式等於：

$\left(\sum_{i=1}^n f(i)\right)^2$

那麼現在我們考慮如何求$f$的字首和，由於$n\leq 10^9$，所以要用杜教篩。

我們看，$f=(\mu\cdot id)*\mathbf 1$，那麼我們令$g=id$，則$f*g$就等於：

$\begin{aligned} f*g=&(\mu\cdot id)*\mathbf 1 * id \\ =&(\mu\cdot id)*id*\mathbf 1 \\ =&\left(\sum_{d|n}\mu(d)d\times \frac{n}{d}\right)*\mathbf 1 \\ =& \left(n\sum_{d|n}\mu(d)\right)*\mathbf 1 \\ =&(id\cdot \epsilon )*\mathbf 1 \\ =&\epsilon * \mathbf 1 \\ =& \mathbf 1 \end{aligned}$

那麼我們將其帶入杜教篩的公式，可以得到字首和等於：

$S(n)=\sum_{i=1}^n 1-\sum_{i=2}^ni S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)$

我們預處理$n^{\frac{2}{3}}$的字首和，然後杜教篩就好啦。

關於$f$的線性篩，方法如下：

因為當$\mu(p^c)$中$c>1$時$\mu(p^c)=0$，所以原式為：

$f(p^c)=\sum_{i=0}^c\mu(p^i)p^i=1-p$
根據積性函式定義：
$f(p^c)=1-p \\ f(x\times p^c)=f(p^c)f(x)[x\perp p^c]$

所以這個題就可以在$O(n^{\frac{2}{3}})$時間內解決了。

#include<map>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=1e6+10;
const ll Mod=1e9+7;
ll prime[M],mu[M],cnt;
bool vis[M];
ll F[M],c[M],f[M],inv_2;
ll fpow(ll a,ll b){
	ll res=1;
	for(;b;b>>=1,a=(a*a)%Mod){
		if(b&1)res=(res*a)%Mod;
	}
	return res;
}
void init(){
	inv_2=fpow(2,Mod-2);
	F[1]=1;
	for(ll i=2;i<M;i++){
		if(!vis[i]){
			prime[++cnt]=i;
			F[i]=((1-i)%Mod+Mod)%Mod;
			c[i]=i;f[i]=i;
		}
		for(ll j=1,v;j<=cnt&&i*prime[j]<M;j++){
			v=i*prime[j];
			vis[v]=1;
			if(!(i%prime[j])){
				c[v]=c[i]*f[i];f[v]=f[i];
				F[v]=F[v/c[v]]*F[prime[j]]%Mod;
				break;
			}
			F[v]=F[i]*F[prime[j]]%Mod;
			c[v]=prime[j];f[v]=prime[j];
		}
	}
	for(ll i=2;i<M;i++){
		F[i]=(F[i-1]+F[i])%Mod;
	}
}
ll S(ll x){return ((x*(x+1))%Mod)*inv_2%Mod;}
ll Sarea(ll L,ll R){return ((S(R)-S(L-1))%Mod+Mod)%Mod;}
map <ll,ll> mp;
ll calc(ll x){
	if(x<M) return F[x];
	if(mp.count(x)) return mp[x];
	ll ans=x;
	for(ll i=2,j;i<=x;i=j+1){
		j=(x/(x/i));
		ans=(ans-(Sarea(i,j)*calc(x/i))%Mod)%Mod;
	}
	if(ans<0)ans+=Mod;
	return mp[x]=ans;
}
ll n;
ll Sqr(ll a){return a*a%Mod;}
int main(){
	scanf("%lld",&n);
	init();
	printf("%lld\n",Sqr(calc(n)));
	return 0;
}

---

End