學習筆記----快速冪取模演算法

畫船聽雨發表於2013-12-24
筆記演算法

轉自部落格：http://www.cnblogs.com/E-star/archive/2012/05/05/2484601.htm

向寶哥學習！

1：利用a^b%n = (((a%c)*a)%c......)運算計算時間複雜度認為得到優化，O（b）,但b很大是還是不行。

int modexp_simple(int a,int b,int n)
{
    int ret = 1;
    while (b--)
    {
        ret = a * ret % n;
    }
    return ret;
}

2：

演算法2：另一種演算法利用了二分的思想，可以達到O(logn)。
可以把b按二進位制展開為：b = p(n)*2^n  +  p(n-1)*2^(n-1)  +…+   p(1)*2  +  p(0)
其中p(i) (0<=i<=n)為 0 或 1

這樣 a^b =  a^ (p(n)*2^n  +  p(n-1)*2^(n-1)  +...+  p(1)*2  +  p(0))
               =  a^(p(n)*2^n)  *  a^(p(n-1)*2^(n-1))  *...*  a^(p(1)*2)  *  a^p(0)
對於p(i)=0的情況, a^（p(i) * 2^(i-1) ） =  a^0  =  1,不用處理
我們要考慮的僅僅是p(i)=1的情況
化簡：a^(2^i)  = a^(2^(i-1)  * 2) = (  a^(  p(i)  *  2^(i-1)  )  )^2

利用這一點，我們可以遞推地算出所有的a^(2^i)
當然由演算法1的結論，我們加上取模運算：
a^(2^i)%c = ( (a^(2^(i-1))%c) * a^(2^(i-1)))  %c
於是再把所有滿足p(i)=1的a^(2^i)%c按照演算法1乘起來再%c就是結果， 即二進位制掃描從最高位一直掃描到最低位
 非遞迴演算法：
#include <iostream> 
#define ll long long  
using namespace std;    
     
//計算a^b mod n    
ll modexp(ll a,ll b,ll n)    
{    
    ll ret=1;    
    ll tmp=a;    
    while(b)    
    {    
       //基數存在    
       if(b&0x1) ret=ret*tmp%n;    
       tmp=tmp*tmp%n;// 計算a^(2*i)  但b的二進位制位是0的時候相當於ret*1所以不用考慮
       b>>=1;    
    }    
    return ret;    
}    
     
int main()    
{    
    cout<<modexp(2,10,3)<<endl;    
    return 0;    
}   

　　


　　遞迴實現：

/計算a^bmodn      
int modexp_recursion(int a,int b,int n)      
{     
    int t = 1; 
   
    if (b == 0) 
        return 1; 
   
    if (b == 1) 
         return a%n; 
   
    t = modexp_recursion(a, b>>1, n); 
   
    t = t*t % n; 
   
    if (b&0x1) 
    {     
        t = t*a % n; 
    } 
   
    return t; 
 }  

　　

參考：http://blog.csdn.net/lsldd/article/details/5506933

 

 模板：

ll modmul(ll a,ll b, ll mod)
{
    ll res = 0;
    ll tmp = a;
    while (b)
    {
        if (b&1) res = (res + tmp)%mod;
        tmp = (tmp+tmp)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
ll modexp(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll res = 1;
    ll tmp = a;
    while (b)
    {
        if (b&1) res = modmul(res,tmp,mod);
        tmp = modmul(tmp,tmp,mod);
        b>>=1;
    }
    return res;
}

　

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