CF1945E Binary Search 題解

CF1945E Binary Search

題目大意

給定一個 \(1\sim n\) 的排列 \(A\)（不保證有序），對這個排列用如下程式碼片段二分，查詢 \(m\) 的位置。

int l=1,r=n+1;
while(r-l>1)
{
    int mid=(l+r)/2;
    if(A[mid]<=m)	l=mid;
    else	r=mid;
}
cout<<l;

顯然不一定能查詢到正確位置，所以在開始查詢之前，可以進行至多 \(2\) 次操作，每次操作可交換任意兩個數的位置，可以保證 \(2\) 次操作一定能使答案正確。

Solve

由於體面說 \(2\) 次操作一定能使答案正確，我們不妨大膽地猜測一下：

先對原數列使用上面的程式碼，進行二分，將二分出來的位置（記為 \(x\)）與 \(m\) 的位置交換即可。

然後就發現 AC 了。

考慮證明一下正確性：

顯然我們最後二分出的 \(p_x\) 一定是 小於等於 \(m\) 的。然後考慮分情況討論：

• 如果二分過程中 \(\forall mid,A_{mid}\neq m\)，那麼這樣交換肯定是沒問題的，因為交換之後不會對 A[mid]<=m 這句話有影響。
• 如果 \(\exist mid,A_{mid}=m\)，那麼交換之後 \(A_{mid}\) 就等於 \(p_x\) 了，此時 A[mid]<=m 仍然為真，不影響二分端點的變化。

得證。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(1,2,3,"Ofast","inline")
using namespace std;
#define int long long
inline int read()
{
	short f=1;
	int x=0;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9')	{if(c=='-')	f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')	x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	return x*f;
}
int t,n,m,a[200010],pos;
signed main()
{
	t=read();
	for(int i=1;i<=t;i=-~i)
	{
		n=read();m=read();
		for(int j=1;j<=n;j=-~j)
		{
			a[j]=read();
			if(a[j]==m)	pos=j;
		}
		int l=1,r=-~n;
		while(r-l>1)
		{
			int mid=l+r>>1;
			if(a[mid]<=m)	l=mid;
			else	r=mid;
		}
		printf("1\n%lld %lld\n",l,pos);
	}
	return 0;
}