尤拉函式詳解

自為風月馬前卒發表於2018-01-27

函式

尤拉函式

我們用$\phi(n)$表示尤拉函式

定義：$\phi(n)$表示對於整數$n$,小於等於$n$中與$n$互質的數的個數

性質

1.$\phi(n)$為積性函式

證明：

此處證明需要用到下面計算方法1中的內容，建議先看後面再回過頭來看這裡

假設存在$p,q$，且$p*q=n$

將$n,p,q$進行質因數分解

$n=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}...*a_k^{p_k}$

$p=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}...*a_m^{p_m}$

$q=a_{m+1}^{p_{m+1}}*a_{m+2}^{m+2}...*a_k^{p_k}$

那麼

$\varphi \left( n\right) =n\prod ^{k}_{i=1}\left( 1-\dfrac {1}{p_{i}}\right)$

$\varphi \left( a\right) =a\prod ^{m}_{i=1}\left( 1-\dfrac {1}{p_{i}}\right)$

$\varphi \left( b\right) =b\prod ^{k}_{i=m+1}\left( 1-\dfrac {1}{p_{i}}\right)$

因為$n=a*b$

顯然

$\varphi \left( n\right) =\varphi \left( a\right) \varphi \left( b\right)$

這種方法也是常見的證明一個函式是積性函式的方法

2.$\sum_{d|n}\phi(d)=n$

3.$1$到$n$中與$n$互質的數的和為$n*\dfrac{\phi(n)}{2}(n>1)$

證明：若$gcd(n, i) = 1$，那麼$gcd(n, n - i) = 1$

因此與$n$互質的數都是成對出現的。且每一對的和都為$n$

這樣最終答案為$n * \frac{\phi(n)}{2}$

4. $a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod n$

：

計算方法

$\sqrt(n)$計算單值尤拉函式

假設我們需要計算$\phi(n)$

分情況討論

1.當$n=1$時

很明顯，答案為$1$

2.當$n$為質數時

根據素數的定義,答案為$n-1$

(僅有$n$與$n$不互質)

3.當$n$為合數時

我們已經知道了$n$為素數的情況

不妨對$n$進行質因數分解

設$n=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}...*a_k^{p_k}$

假設$k=1$

那麼$\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}$

證明:

考慮容斥，與一個數互素的數的個數就是這個數減去與它不互素的數的個數

因為$p$是素數，所以在$p^k$中與其不互素的數為$1*p$,$2*p$....$p^{k-1}*p$,有$p^{k-1}$個

得證

當$k\neq 1$時

$$\phi(n)$$

$$=\varphi \left( a^{p_{1}}_{1}a^{p_{2}\ldots }_{2}a^{Pk}_{k}\right)$$

$$=\prod ^{k}_{i=1}a^{P_i}-a^{P_{i}-1}_{i}$$

$$=\prod ^{k}_{i=1}a^{Pi}_{i}(1-\dfrac {1}{p_{i}})$$

$$=n*\prod ^{k}_{i=1}(1-\dfrac {1}{p_{i}})$$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 1e7 + 10;
int p, ans = 1, N;
void GetPhi() {
    for(int i = 2; i * i <= p; i++) {
        if(p % i == 0) {
            int now = i - 1; p /= i;
            while(p % i == 0) now = now * i, p /= i;
            ans = ans * now;
        }
    }
    if(p != 1) ans *= (p - 1); 
}
int main() {
    cin >> p; N = p;
    GetPhi();
    cout << ans;
    return 0;
}

線性篩

因為尤拉函式是積性函式

因此可以使用線性篩法

性質1

若$p$為素數，則$\varphi \left( p\right) =p-1$

證明：

在$1-p$中，只有$(p,p)\neq1$

性質2

若$i\ mod\ p \neq 0$，且$p$為素數

則$\varphi \left( i*p\right) =\varphi \left( i\right) *\varphi \left( p\right)$

$=\varphi \left( i\ast p\right) =\varphi \left( i\right) \ast \left( p-1\right)$

這一步同時利用了性質1和尤拉函式的積性

性質3

若$i\ mod \ p = 0$，且$p$為素數，

則$\varphi \left( i\ast p\right) =\varphi \left( i\right) \ast p$

證明：

沒怎麼看懂，丟一個連結

http://blog.csdn.net/Lytning/article/details/24432651

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 3e5 + 10;
void GetPhi(int N) {
    static int phi[MAXN], vis[MAXN], prime[MAXN], tot = 0;
    for(int i = 2; i <= N; i++) {
        if(!vis[i]) prime[++tot] = i, phi[i] = i - 1;
        for(int j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= N; j++) {
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if(!(i % prime[j])) {phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j]; break;}
            else phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
        }
    }
    while(cin >> N) cout << phi[N] << endl;
}
int main() {
    GetPhi(100);
    return 0;
}