可能會用到的記號： \([P]=\begin{cases} 1 &(P 成立) \\ 0 & (P 不成立) \end{cases}\)
期望機率 \(\texttt{dp}\)
\(\texttt{dp}\) 的變形當中最為簡單易懂但是又思路又最為清奇。
與之相關的難題數不勝數。考場上可以想出正解的都是超級神仙。
粗淺的提一句，離散變數，也就是保證樣本可數的情況下的變數。而後文的隨機變數，大都是離散型隨機變數。
相關定義：
我們可以用數學的方法理解他們。
可數：像自然數一樣可以一個一個計數的。
因為我並沒有太好的機率相關的基礎學習，所以我只能這樣：
機率，期望與頻數直方圖
對於一個變數，它在有限個樣本當中出現。而現在已知這個樣本。
作頻數直方圖。而機率 \(P\) 也就是 \(\dfrac{S}{C}\) ( 其中 \(S\) 表示樣本容量，\(C\) 表示該種取值出現的次數 )。不難發現，機率 \(P\) 也即這個隨機變數的取值出現頻率。
記這個隨機變數為 \(X\)，它的取值分別為 \(X_1,X_2,\cdots,X_i,\cdots,X_n.\) 而我們記 \(E(X)\) 為 \(X\) 的數學期望。
期望，簡單地說是隨機變數 \(X\) 的所有取值的平均值。求平均數可以用整個頻數直方圖求和然後除以他的樣本容量得到。也就是：
稍微用上文的公式化簡，就可以得到書上最後的公式：
如果這個隨機變數的取值非有限但是可數，那麼
這裡， \(P(X=X_i)\) 是 \(X\) 取到 \(X_i\) 的機率。
我怎麼好像說了一大堆廢話啊。。
可以想象，\(E(X)\) 是 \(X\) 的隨機取值組成的集合的平均值。
但是這裡通常不會討論隨機變數取值可數的情況。
重要性質
有常數 \(c\)，隨機變數 \(X,Y\)
-
\(E(c)=c.\)
-
數學期望的線性性質： \(E(cX)=cE(X).\)
-
數學期望的線性性質： \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
-
數學期望對於乘法的準分配律：當 \(X,Y\) 相互獨立， \(E(XY)=E(X)E(Y)\)
什麼是相互獨立呢？
設 \(X,Y\) 的取值集合分別為 \(\{X_i\}\) 以及 \(\{Y_i\}\) ，而對於任意 \(i,j\)，有 \(P(X=X_i,,Y=Y_j)=P(X=X_i)P(Y=Y_j)\)
- 全期望公式：
其中，\(I(Y)\) 是 \(Y\) 的取值集合，而 \(E(X|Y=y)\) 表示 \(Y=y\) 的情況下 \(X\) 的期望取值。
數學期望是一個所有實驗結果的平均值
逆天的是，這裡面並沒有基本性質，每一個都可以得到證明。
再給出一個基於本質可以被理解的性質：
這個性質被稱作 \(*\) 全機率公式 \(*\)
其中 \(A|Bi\) 是 \(B_i\) 事件成立時 \(A\) 事件成立的機率。
有一個易錯點：\(E(X^2)=E^2(X)\) 不一定成立。
期望機率 \(dp\) 例題。
【例題 1】期望分數
\(link\)
設在 \(i\) 的得分是 \(x\) ，有 \(x_i\) 個連續的 \(1.\)
多項式乘法化簡，最後得到
問題轉移到 \(E^2(x_i)\) 以及 \(E(x_i)\)
code
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define db double
const int N=1e5+10;
db E[N],Ex[N],Ex2[N],p[N];
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%lf",&p[i]);
for(int i=1;i<=n;++i){
Ex[i]=p[i]*(Ex[i-1]+1);
Ex2[i]=p[i]*(Ex2[i-1]+2*Ex[i-1]+1);
E[i]=E[i-1]+p[i]*(3*Ex2[i-1]+3*Ex[i-1]+1);
}
printf("%.1lf\n",E[n]);
}