首先我們不難發現，原題意等價於求最小的 \(m\) 使得 \(|x-\sum_{i=0}^{m-1}x_{i\bmod n}|+|y-\sum_{i=0}^{m-1}y_{i\bmod n}|\le m\cdot k\)，因為你可以把較大的 \(x'_i,y'_i\) 勻出一點給較小的 \(x'_i,y'_i\)，使得所有 \(|x'_i|+|y'_i|\le k\) 都滿足，而不會影響結果。
考慮列舉 \(i\in[0,n)\)，那麼 \(\sum_{i=0}^{m-1}x_{i\bmod n}=sum_{i}+d\cdot sum_n\)，其中 \(sum\) 是 \(x\) 的字首和陣列，\(d\) 是一個常數，下文也會出現。\(y\) 同理。
絕對值向來是很煩人的，考慮直接拆掉絕對值符號，分類討論絕對值內的數的正負，總共有四種情況。
考慮求出 \(px\) 表示最大的數滿足 \(px\cdot sum_n+sum_i\le x\)，\(py\) 同理。那麼四種情況可以規約為 \(d\in[0,\min(px,py)],d\in(px,py],d\in(py,px],d\in(\max(px,py),\infty)\)。可以發現其中必有至少一種情況無用，但無關緊要。
但是我們發現當 \(sum_n\) 是負數的時候會出錯，這時我們將所有的 \(x_i,x\) 取相反數，這樣不會對結果造成影響（因為 \(x_i,y_i\) 在題面的前兩個式子中相互獨立，而第三個式子中由於是絕對值所以必然無影響），也規避了這種特殊情況。下文的 \(x_i\) 等都是經過處理的。對 \(y,y_i\) 同理。
以下分類討論以 \(d\in[0,\min(px,py)]\) 的情況為例，其他情況類似。
（原不等式：\(|x-\sum_{i=0}^{m-1}x_{i\bmod n}|+|y-\sum_{i=0}^{m-1}y_{i\bmod n}|\le m\cdot k\)，以下用 \(sumx_i,sumy_i\) 區分兩個陣列的字首和）
絕對值拆掉後，不等式左側 \(=x-sumx_i-d\cdot sumx_n+y-sumy_i-d\cdot sumy_n\)，不等式右側 \(=d\cdot nk+i\cdot k\)，移項後得 \(d\cdot(nk+sumx_n+sumy_n)\ge x-sumx_i+y-sumy_i-i\cdot k\)，將 \(d\) 的這坨係數除過去即可。對於 \(d\) 的下限，將係數除過去後直接將右邊的式子向上取整就行。由於 C++ 除法是臭名昭著的向零取整，所以要用 floor 和 ceil 函式。
一些可能需要注意的點：
- 初中數學告訴我們，除法不能除以 \(0\)，所以求 \(px,py,d\) 的時候要特判除數為 \(0\) 的情況。
- 初中數學告訴我們，不等式除以一個負數是要變號的，所以求 \(d\) 的時候還要特判除數為 \(d\) 的情況。
- 求出 \(d\) 的時候別忘了驗證結果是否在討論的取值範圍內。
- 求出的 \(px,py\) 要對 \(-1\) 取 max。
- 求出的 \(d\) 只是一個下限，所以當求出的 \(d\) 小於取值範圍下限時，要將 \(d\) 對取值範圍下限取 max。
- 當除負係數時，由於 \(d\) 要取最小值，所以對右邊的式子直接取
floor是不對的，取floor的值只是 \(d\) 的上限。另外若 \(d\) 的上限小於討論的取值範圍的下限，那麼是無解的。 - 別忘了最終要返回的答案是 \(d\cdot n+i\)。
程式碼：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<set>
#include<ctime>
#include<random>
#define PW puts("-1")
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);++a)
#define int long long
using namespace std;
inline int rd(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
inline void write(int x,char ch='\0'){
if(x<0){x=-x;putchar('-');}
int y=0;char z[40];
while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=1e5+5,maxm=4e5+5,inf=0x3f3f3f3f;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,k,X,Y;
int a[maxn],b[maxn],sa[maxn],sb[maxn];
int getpx(int e){
if(!sa[n])return X-sa[e]>=0?llinf:-llinf;
return floor(1.0*(X-sa[e])/sa[n]);
}
int getpy(int e){
if(!sb[n])return Y-sb[e]>=0?llinf:-llinf;
return floor(1.0*(Y-sb[e])/sb[n]);
}
int solve(int e,int ox,int oy,int l,int r){
if(l>r)return llinf;
int fz=ox*(sa[e]-X)+oy*(sb[e]-Y)-e*k,fm=n*k-ox*sa[n]-oy*sb[n];
if(fm<0){
int uplim=floor(1.0*fz/fm);
return l<=uplim?l*n+e:llinf;
}else if(fm==0){
if(fz<=0)return l*n+e;
return llinf;
}else{
int d=ceil(1.0*fz/fm);
if(d<=r)return max(d,l)*n+e;
return llinf;
}
}
void solve_the_problem(){
n=rd(),k=rd(),X=rd(),Y=rd();
rep(i,1,n)a[i]=rd(),b[i]=rd(),sa[i]=sa[i-1]+a[i],sb[i]=sb[i-1]+b[i];
if(sa[n]<0){
rep(i,1,n)a[i]*=-1;X*=-1;
rep(i,1,n)sa[i]=sa[i-1]+a[i];
}
if(sb[n]<0){
rep(i,1,n)b[i]*=-1;Y*=-1;
rep(i,1,n)sb[i]=sb[i-1]+b[i];
}
int ans=llinf;
rep(i,0,n-1){
int px=getpx(i),py=getpy(i);
px=max(px,-1ll),py=max(py,-1ll);
ans=min(ans,solve(i,-1,-1,0,min(px,py)));
ans=min(ans,solve(i,1,-1,px+1,py));
ans=min(ans,solve(i,-1,1,py+1,px));
ans=min(ans,solve(i,1,1,max(px,py)+1,llinf-1));
}
if(ans==llinf)PW;
else write(ans,10);
}
bool Med;
signed main(){
// freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
// fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
int _=rd();while(_--)solve_the_problem();
}
/*
1
1 16441092 10192902 -9668835
3483259 10208774
output:3
*/