解題報告-論對“區間可持久化”的新理解
當我第一眼看到“可持久化 \(\texttt{Trie}\)”的時候，我以為這不過是一個 \(\texttt{Trie}\)+可持久化罷了。事實證明也是這樣，在後面的程式碼實現中，我也是一遍打對了這個紫色板子。
那麼，一道模板題，有什麼好說的？正是因為控住我的不是模板，這道題才得以上升至好題之列。
題意很清楚，但是一開始我甚至沒有想到這怎麼跟可持久化 \(\texttt{Trie}\) 聯絡起來。後來看到標籤裡面說字首和，我以為是字尾貼上了字首的標籤，於是開始考慮字尾怎麼寫。想到了線段樹等很多個做法，但是都假了。
卡掉我的基本都是同一個點：它是異或。如果 \(a>b\)，那麼不一定有 \(a \oplus c>b\oplus c\)。
於是我到題解裡尋求幫助。我發現了這道題中的第一個關鍵點：
- 首先，它確實是一個字首問題。如果我們直接維護字尾，那麼意味著我們必須區間更新，但是字首和相反。往序列末尾加入一個數的時候，只用更改一個值。這啟示我們，一切異或問題都是可以逆向考慮的。比如記 \(s_i\) 表示 \(a_1\oplus a_2\oplus \dots \oplus a_i\)，那麼 \(\oplus_{i}^{n} a_i=s_{i-1}\oplus s_n\)。因為異或是可以自反的，即 \(a\oplus b=c\Rightarrow a\oplus c=b\)。
那麼下一步就顯得略微簡單了。我們已經建出了一棵 \(01-\texttt{Trie}\) 樹，每次查詢的時候，設查詢中異或的數為 \(x\)，那麼 \(x\leftarrow x\oplus s_n\)，然後在 \(\texttt{Trie}\) 樹中找到與 \(x\) 異或最大的數。具體也很好找，就是每一位都儘量與 \(x\) 不同即可。
可持久化也很簡單，每加入一個數，就更新一下，最後會生成 \(n\) 棵 \(\texttt{Trie}\)。
接下來是第二大難點：如果這樣做，我們只能查詢 \(1\sim r\) 的區間，而非任意的 \(l\sim r\)。很顯然，這裡也不可能像可持久化線段樹：靜態區間第 \(k\) 大一樣，用一個字首和的思想。我們該如何判斷，哪些數是合法的，能夠被統計進答案，哪些數是不合法的，要被從答案裡踢出去？
這裡有一個幾乎所有區間可持久化通用的 \(\texttt{Trick}\)，就是 \(\texttt{timestamp}\)。眾所周知，每次修改一條鏈的時候都要把鏈上每個點都複製一遍。在第 \(k\) 個版本的線段樹裡，我們記錄 \(tim_i\) 表示 \(i\) 號點最晚什麼時候被複制，這裡 \(tim_i\le k\)。那麼，統計 \([l,r]\) 答案的時候，我們從第 \(r\) 個版本的樹開始找，那麼這個時候樹上的合法結點只有 \(tim\ge l\) 的。對於那些 \(tim\le l\) 的——看不見！就當沒有這個結點。那麼這道題就圓滿完成了。
總結下來，這道題直接拿下兩個 \(\texttt{Trick}\)，一個知道但是沒有形成意識，一個是根本不知道，所以這道題我認為是好的。