P3358 最長k可重區間集問題

雜湊表扁豆發表於2020-12-10
  • 問題描述：給定n個開區間，從中選取若干個，使得每個數的被覆蓋次數不超過k，且選取的區間長度和最大；
  • 建圖方法：將區間上的端點視為圖中的點，對於每個區間，左端點向右端點連權值為區間長度，容量為1（保證了每個區間只選一次）的邊，源點向所有的左端點連權值為0，容量為1的邊，所有的右端點向匯點連權值為0，容量為1的邊，對於每個不重疊的區間，左邊區間的右端點向右邊區間的左端點連權值為0，容量為1的邊，這樣就形成了若干組串聯關係；現在考慮並聯，流並聯的兩條鏈等價於覆蓋次數+2，現在問題就變成了選取k條權值最大的串聯鏈，因此再建立一個super源向源點連容量為k的邊；跑最大費用最大流即可。
  • 總結：依舊延續了流表達限制條件的方法，將區間拆成左右端點限制了區間的選取次數，通過類比於電路圖中的串並聯關係（串聯電路覆蓋為1，i條串聯最大覆蓋數為i）將覆蓋不超過k這一約束條件轉換成不超過k條“串聯電路”。
#include <iostream>
#include <map>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn=1105,maxm=500*500*2,inf=0x3f3f3f3f;
int cnt=1,last[maxn],cur[maxn],pos=1,inq[maxn],st=1100,n,k,l[maxn],r[maxn],len,ml,ans,d[maxn];
bool vis[maxn];
struct edge{
    int v,w,next,f;
}e[maxm];
inline void add(int u,int v,int w,int f)
{
    e[++cnt].v=v;
    e[cnt].next=last[u];
    e[cnt].w=w;
    e[cnt].f=f;
    last[u]=cnt;
}
bool spfa()
{
    queue<int>q;
    memset(inq,0,sizeof(inq));
    for(int i=1;i<=st;i++) d[i]=inf;
    d[0]=0;
    q.push(0);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();q.pop();
        inq[u]=0;
        for(int i=last[u];i;i=e[i].next)
        {
            int v=e[i].v,w=e[i].w,f=e[i].f;
            if(d[v]>d[u]+w&&f)
            {
                d[v]=d[u]+w;
                if(!inq[v])
                {
                    inq[v]=1;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
    return d[st]!=inf;
}
int dfs(int u,int dis)
{
    vis[u]=1;
    if(u==st||!dis) return dis;
    for(int i=cur[u];i;i=e[i].next)
    {
        cur[u]=e[i].next;
        int v=e[i].v,w=e[i].w,f=e[i].f;
        if(d[v]==d[u]+w&&f&&!vis[v])
        {
            int di=dfs(v,min(dis,f));
            if(di>0)
            {
                e[i].f-=di;
                e[i^1].f+=di;
                return di;
            }
        }
    }
    return 0;
}
map<int,int>p;
void dinic()
{
    while(spfa())
    {
        for(int i=0;i<=st;i++)
        cur[i]=last[i];
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        while(int mi=dfs(0,inf))
        {
            ans+=d[st]*mi;
            ml+=mi;;
            memset(vis,0,sizeof(vis));
        }
    }
}

int main()
{

   cin>>n>>k;
   add(0,1,0,k);
   add(1,0,0,0);
   for(int i=1;i<=n;i++)
   {
       cin>>l[i]>>r[i];
       len=r[i]-l[i];
       if(!p[l[i]]) p[l[i]]=++pos;
       if(!p[r[i]]) p[r[i]]=++pos;
       add(p[l[i]],p[r[i]],-len,1);
       add(p[r[i]],p[l[i]],len,0);
       add(1,p[l[i]],0,1);
       add(p[l[i]],1,0,0);
       add(p[r[i]],st,0,1);
       add(st,p[r[i]],0,0);
   }
   for(int i=1;i<=n;i++)
   for(int j=1;j<=n;j++)
   if(r[i]<=l[j])
   {
       add(p[r[i]],p[l[j]],0,1);
       add(p[l[j]],p[r[i]],0,0);
   }
   dinic();
   cout<<-ans;
   return 0;
}

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