[熵值] 解題報告

g1ove發表於2024-10-18

化簡題意:平面上 \(n\) 個點,每個點有權值,可以進行若干次偏移操作,一個點減去若干權值,另一個點加上,但是會損失它們之間的歐幾里得距離那麼多權值,然後求最大的最小權。

Observation 1

由於平面上任意兩點之間線段最短,不存在 \(a\to b\to c\) 的情況。

Observation 2

如果選擇了一條偏移路徑,那麼一定是能偏移就儘可能偏移。

Observatoin 3

進行二分答案,發現會變成一個二分圖,左邊是比 \(mid\) 小的,右邊是比 \(mid\) 大的。
如果進行操作,那麼整個二分圖不能存在環,否則不符合 Observation 2

Observation 4

由前 \(3\) 個觀察得知,最優解是一棵最小生成樹,由於 \(n\le 16\),不難想到狀壓 dp,生成樹最小值是 \(\lfloor\dfrac{\sum w_i-\sum v_i}{L}\rfloor\) 就是點權和減邊權,構造像二分答案那樣就行。

因此,使用狀壓 dp 可以做到 \(O(2^n\times n^2)\)

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