在 演算法分析 中，複雜度 和 階 是兩個非常重要的概念，它們用於描述演算法的 時間效能 或 空間效能。雖然這兩個概念有些重疊，但它們的含義和使用場景略有不同。
1. 複雜度 (Complexity)
複雜度 是用來描述演算法在執行時所需資源（如時間或空間）與輸入規模之間關係的一個度量。最常用的是 時間複雜度 和 空間複雜度：
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時間複雜度 (Time Complexity)：表示演算法執行所需時間與輸入資料規模（通常是輸入的大小 ( n )）之間的關係。時間複雜度通常用大O符號表示，如 ( O(n) )、( O(n^2) )、( O(\log n) ) 等。
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空間複雜度 (Space Complexity)：表示演算法在執行過程中需要的額外空間（記憶體）與輸入資料規模之間的關係。空間複雜度也常用大O符號表示，如 ( O(1) )、( O(n) )、( O(n^2) ) 等。
複雜度 主要關注的是演算法效能的 量化描述，透過表達輸入規模 ( n ) 與所需資源（時間或空間）之間的函式關係，幫助我們評估和比較不同演算法的效率。
2. 階 (Order)
階 是指在描述演算法效能時所採用的 漸近 表示式。它反映了隨著輸入規模 ( n ) 增加時，演算法執行時間或所需空間的增長趨勢。階主要透過 大O符號（O-notation）來表示。
常見的階包括：
- 常數階 (O(1))：演算法的執行時間或空間需求不依賴於輸入規模的大小，始終是常數時間或空間。
- 線性階 (O(n))：演算法的執行時間或空間需求與輸入規模成正比。
- 平方階 (O(n^2))：演算法的執行時間或空間需求與輸入規模的平方成正比。
- 對數階 (O(log n))：演算法的執行時間或空間需求隨輸入規模的對數增長。
- 指數階 (O(2^n))：演算法的執行時間或空間需求隨輸入規模的指數級增長。
階 是透過對演算法的複雜度進行 漸近分析 得到的，它揭示了輸入規模增長時演算法效能的 增長率。簡言之，階關心的是大規模輸入下演算法的表現，通常忽略常數因子和低階項。
3. 複雜度與階的關係
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複雜度 是對演算法效能的 定量描述，可以具體到給定輸入規模 ( n ) 的執行時間或空間。
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階 是對複雜度的 簡化描述，它抽象化了複雜度的增長趨勢，描述了演算法效能隨著輸入規模增加時的增長速率。階通常忽略常數和低階項，只關注最重要的增長項。
例如，若一個演算法的時間複雜度為 ( 3n^2 + 2n + 5 )，它的 階 是 ( O(n^2) )，因為在輸入規模 ( n ) 很大的時候，( n^2 ) 這個項會主導整個複雜度。複雜度給出的是實際的函式（包括常數項），而階則給出的是描述增長趨勢的近似值。
4. 舉例說明
假設有以下兩種演算法，它們的時間複雜度分別為：
- 演算法1：時間複雜度為 ( 2n + 100 )
- 演算法2：時間複雜度為 ( n^2 + 10n )
儘管在小規模輸入時，演算法1的執行時間可能會比演算法2更短，但隨著輸入規模 ( n ) 的增大，演算法2的增長速度要比演算法1快得多。隨著 ( n ) 變得非常大時，演算法1的時間複雜度趨近於 ( O(n) )，而演算法2的時間複雜度趨近於 ( O(n^2) )。
因此，演算法的 階 反映了其效能的 長期表現，而複雜度則是對具體演算法 效能的精確量化。
5. 總結
- 複雜度 是對演算法執行所需時間或空間的定量描述，通常可以透過計算某個演算法的具體表示式來得出。
- 階 是對演算法複雜度的漸近分析，描述了隨著輸入規模 ( n ) 增加，演算法執行時間或空間的增長速率。
- 關係：階是複雜度的 簡化版，幫助我們快速瞭解演算法在大規模輸入下的表現，而複雜度則更加具體，包含常數和低階項的影響。
透過分析複雜度和階，我們可以評估和選擇最適合某個問題的演算法，尤其是在大規模資料和高效計算場景中。