小紅闖地下城
題目描述
已知地下城是樹形結構，一共有 $n$ 個房間，$n−1$ 條雙向通路。入口和出口都在 $1$ 號房間，每個房間有 $1$ 只怪物，小紅進入房間後必須先擊殺怪物。
每個房間有一個通往其他房間的單向傳送陣。小紅可以使用最多 $1$ 次傳送。
當小紅透過道路或者傳送陣移動到其他房間時，將消耗 $1$ 點體力。擊殺 $1$ 只怪物同樣也需要 $1$ 點體力。
小紅初始有 $x$ 點體力。她想知道，最多可以擊殺多少隻怪物？請注意，小紅最終必須回到 $1$ 號房間離開地下城。擊殺的怪物不能復生。
輸入描述:
第一行輸入兩個正整數 $n,x$，用空格隔開，分別代表房間的數量和小紅的初始體力。
第二行輸入 $n$ 個正整數 $a_i$，代表每個房間的傳送陣通向的房間編號。
接下來的 $n−1$ 行，每行輸入兩個正整數 $u,v$，代表房間 $u$ 和房間 $v$ 有一條通路。
$1 \leq n \leq 200000$
$1 \leq a_i,u,v \leq n$
$1 \leq x \leq 1000000$
輸出描述:
一個整數，代表小紅可以擊殺的怪物最大數量。
示例1
輸入
3 2
2 3 1
1 2
2 3輸出
1說明
小紅只有 $2$ 點體力，她首先擊殺 $1$ 號房間的怪物，消耗 $1$ 點體力，然後就什麼都做不了了（如果離開 $1$ 號房間就回不來了）。
示例2
輸入
3 6
1 3 1
1 2
1 3輸出
3說明
小紅安排體力的流程如下：
擊殺 $1$ 號房間怪物，消耗 $1$ 體力。
移動到 $2$ 號房間，消耗 $1$ 體力。
擊殺 $2$ 號房間怪物，消耗 $1$ 體力。
傳送到 $3$ 號房間，消耗 $1$ 體力。
擊殺 $3$ 號房間怪物，消耗 $1$ 體力。
移動到 $1$ 號房間，消耗 $1$ 體力。
解題思路
補了下兩個星期前的題，下半個學期的星期五晚上被排了課搞得打不了比賽，也沒多少時間補題，慘喵。
可以分成兩種情況來考慮，不使用傳送門，和使用傳送門。
先考慮不使用傳送門的情況。對於每個被遍歷過的點 $u$（不考慮根節點 $1$），在最優解中連線其父節點 $p$ 的無向邊 $(u,p)$ 必然恰好經過 $2$ 次。首先如果有向邊 $p \to u$ 經過至少 $2$ 次，意味著從 $p$ 往下至少訪問了 $2$ 次子樹 $u$，顯然我們完全可以只經過 $1$ 次的遍歷訪問子樹 $u$ 中的節點，因此 $p \to u$ 最多會經過 $1$ 次。又因為訪問子樹 $u$ 後需要從 $u$ 回到根節點，因此 $u \to p$ 至少被經過 $1$ 次。因此無向邊 $(u,p)$ 恰好被經過 $2$ 次。
假設一共訪問了 $x$ 個節點，意味著會經過 $x-1$ 條邊，又因為每個點只擊殺一次怪物，每條邊恰好經過 $2$ 次，因此消耗的體力就是 $x + 2(x-1)$。可以發現消耗的體力只與訪問的節點數量有關，而與訪問了哪些節點無關，因此若消耗的體力不超過 $m$ 則最多能訪問 $\left\lfloor \frac{m+2}{3} \right\rfloor$ 個節點（$3x-2 \leq m \Rightarrow x \leq \left\lfloor \frac{m+2}{3} \right\rfloor$）。
再考慮使用傳送門的情況。考慮使用第 $i$ 個傳送門的最優解的方案，一定包含從 $1$ 到 $i$ 的路徑，加上從 $i$ 到 $a_i$ 的傳送，加上從 $a_i$ 到 $1$ 的路徑。而其餘的部分我們可以看作是掛在 $1 \to i$ 和 $a_i \to 1$ 這兩條鏈上的路徑。我們先考慮 $1 \to i \to a_i \to 1$ 消耗的體力。定義 $d_i$ 表示從 $1$ 到 $i$ 這條路徑上的節點數量（$d_1 = 1$）。首先是 $1 \to i$，容易知道經過了 $d_i$ 個節點和 $d_i - 1$ 條邊，因此消耗的體力為 $2d_i - 1$。然後是 $i \to a_i$，使用傳送門消耗 $1$ 點體力。最後是 $a_i \to 1$，首先經過了 $d_{a_i} - 1$ 條邊，但經過的 $d_{a_i}$ 個點中 $1 \to p$（$p=\mathrm{lca}(i, a_i)$）路徑上的點會被重複經過，共 $d_{p}$ 個點，因此消耗的體力應該為 $d_{a_i} - 1 + d_{a_i} - d_p$。最後總共消耗的體力就是 $s = (2d_i - 1) + (1) + (d_{a_i} - 1 + d_{a_i} - d_p) = 2d_i + 2d_{a_i} - d_p - 1$，且訪問過的節點數量為 $t = d_i + d_{a_i} - d_p$。
將剩餘的體力記為 $r = m - s$，考慮體力 $r$ 可以訪問多少個掛在 $1 \to i$ 和 $a_i \to 1$ 這兩條鏈上的路徑的節點。和上面的分析一樣，對於每個被訪問的點 $u$，邊 $(u,p)$ 會被恰好訪問 $2$ 次，因此訪問一個點消耗的體力就是 $3$，因此最多能訪問的節點數量就是 $\min\left\{n - t, \left\lfloor \frac{r}{3} \right\rfloor \right\}$。所以如果使用第 $i$ 個傳送門，最多能訪問 $t + \min\left\{n - t, \left\lfloor \frac{r}{3} \right\rfloor \right\}$ 個節點，記為 $f_i$。
因此最後的答案就是 $\max\left\{ \left\lfloor \frac{m+2}{3} \right\rfloor, \; \max\limits_{1 \leq i \leq n}\{f_i\} \right\}$。
AC 程式碼如下，時間複雜度為 $O(n \log{n})$：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2e5 + 5, M = N * 2;
int a[N];
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int fa[N][18], d[N];
void add(int u, int v) {
e[idx] = v, ne[idx] = h[u], h[u] = idx++;
}
void dfs(int u, int p) {
fa[u][0] = p;
d[u] = d[p] + 1;
for (int i = 1; i <= 17; i++) {
fa[u][i] = fa[fa[u][i - 1]][i - 1];
}
for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
int v = e[i];
if (v == p) continue;
dfs(v, u);
}
}
int lca(int a, int b) {
if (d[a] < d[b]) swap(a, b);
for (int i = 17; i >= 0; i--) {
if (d[fa[a][i]] >= d[b]) a = fa[a][i];
}
if (a == b) return a;
for (int i = 17; i >= 0; i--) {
if (fa[a][i] != fa[b][i]) a = fa[a][i], b = fa[b][i];
}
return fa[a][0];
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
int n, m;
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
}
memset(h, -1, sizeof(h));
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
int u, v;
cin >> u >> v;
add(u, v), add(v, u);
}
dfs(1, 0);
int ret = (m + 2) / 3;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int p = lca(i, a[i]);
int s = 2 * d[i] + 2 * d[a[i]] - d[p] - 1;
int t = d[i] + d[a[i]] - d[p];
if (s <= m) ret = max(ret, t + min(n - t, (m - s) / 3));
}
cout << ret;
return 0;
}
參考資料
【題解】牛客小白月賽104文字題解：https://ac.nowcoder.com/discuss/1434170