SS241030C. 橋樑(bridge)
題意
本人小時候也分不清 fridge 和 bridge
給你 \(n\) 個點，\(m\) 條邊的圖，邊帶權。有 \(q\) 個要求。每個要求給出 \(a_i,b_i\)，要求至少選中第 \(a_i\) 或 \(b_i\) 條邊。問最小代價選邊使得圖連通。
solution
注意到 \(q\le 16\)，可以直接列舉每個要求必須選擇 \(a\) 還是 \(b\)，有 \(2^q\) 種選法。
注：以下的
最小生成樹其實建出來不一定是樹，因為有可能必選的邊會成環。
暴力是跑 \(2^q\) 次最小生成樹。時間複雜度 \(O(n2^q)\)，可以得到 \(36pts\)。
注意到每次跑生成樹，強制要選的邊變化不多，因此最終選擇出來的邊有很大一部分是重複的。
假設強制選上所有的 \(a_i,b_i\)，跑最小生成樹，選上的那些沒有被強制選擇的邊，在所有要求方式中，這些邊一定會被選中，把它們叫做關鍵邊。考慮證明。取消選擇一些 \(a,b\)，可能會出現多個連通塊，你可能選擇其他邊替代取消的 \(a,b\)，但是這些新邊是無法代替關鍵邊的作用的，因為選上所有 \(a,b\) 的時候，關鍵邊的兩端處在不同的連通塊，所以連上新邊，關鍵邊的兩端仍然處在不同的連通塊。
只連所有的關鍵邊，會形成 \(O(q)\) 個連通塊。
把每個連通塊縮成一個點，處理出它們間的 \(O(q^2)\) 條邊。
列舉要求狀態，然後先選擇必選的邊，然後在 \(O(q)\) 個點，\(O(q^2)\) 條邊的圖上做最小生成樹即可。
錯誤結論 1：沒有要求地跑一遍最小生成樹，沒有跑到的邊一定不會被選中。結論錯誤。
錯誤結論 2：std 的題解說，強制不選擇所有的 \(a_i,b_i\)，跑最小生成樹，沒有被選中的邊一定在所有狀態都不會被選中。這個結論是正確的，但是？
時間複雜度 \(O(2^q q^2)\)。
程式碼比較醜，不放了。