- 論文名稱：context-aware learning of hierarchies of low-fidelity models for multi-fidelity uncertainty quantification
- 連結：https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0045782523000312
- 國際計算力學領域的頂級期刊《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》（中科院一區 TOP，IF：6.756）
0 abstract
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背景：
- multi-fidelity Monte Carlo 方法利用 low-fidelity and surrogate models 來減少方差（variance），使不確定性量化變得可行，儘管物理系統的 high-fidelity 數值模擬計算成本很高。
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工作簡述：
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我們提出了一種 context-aware 的 multi-fidelity Monte Carlo 方法，實現了訓練 low-fidelity 模型的成本和 Monte Carlo 取樣的成本之間的最佳平衡。
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當訓練 low-fidelity 模型時，我們考慮到了所學的 low-fidelity 模型將被使用的背景，即在 Monte Carlo 估計中減少方差，這使得它能夠在訓練和抽樣之間找到最佳的權衡，以最小化給定計算預算（computational budget）下估計器的均方誤差（mean-squared error）上限。
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繼承了之前的工作：
- 它將以前開發的 context-aware bi-fidelity Monte Carlo 方法，推廣到多個模型的層次結構 和 更普遍的 low-fidelity 模型型別，如 sparse-grid（比如說 PDE 模擬的網格粒度粗一點）和 deep-network。
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文獻樹上的位置：
- 我們與傳統的 surrogate modeling 和 model reduction 技術不一樣，後者構建 low-fidelity 模型的主要目的是為了很好地接近 high-fidelity 模型的輸出，通常忽略了所學模型在 upstream tasks 中的 context。
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實驗結果：
- 用陀螺動力學模擬程式碼 Gene 進行的數值實驗表明，在做一個不確定性量化時，與 single-fidelity Monte Carlo 和 standard multi-fidelity estimators 相比，速度提高了兩個數量級：相當於在德州高階計算中心 Lonestar6 超級計算機的一個節點上，執行時間從 72 天減少到 4 小時。
1 intro & related method
- literature：[1] 是一個 Multi-Fidelity 的 survey。其他 literature 懶得整理了。
- motivation：如果沒有現成的 low-fidelity model，那麼就需要首先訓練得到它們，這可能會產生額外的計算成本，並且需要對 high-fidelity model 進行額外的評估，以產生訓練資料。
- main idea：該方法將 ① 訓練多個 low-fidelity 模型的層次的成本 ② 蒙特卡洛取樣以獲得多保真估計器的成本進行 trade-off，在給定的 computational budget 下，使均方誤差（mean-squared error）的上限最小（context-aware：最大限度地減少蒙特卡羅估計的方差），而不是儘可能接近 high-fidelity model。
- structure：
- 2：preliminaries，介紹符號定義，傳統的 multi-fidelity Monte Carlo 演算法，他們之前做的一個 bi-fidelity context-aware 演算法。
- 3：method。
- 4：兩個 experiment，1 具有九個不確定引數的二維空間域上的熱傳導問題，2 具有不確定輸入的現實等離子體微擾動情況。數值結果的程式碼：https://github.com/ionutfarcas/context-aware-mfmc
2 背景 & 前情提要
2.1 背景：static multi-fidelity Monte Carlo estimation
- \(f^{(0)}:X→Y\) 是一個輸入-輸出響應（input-output response），expensive to evaluate。輸入為 d 維，輸出為 1 維。
- 對一個隨機變數 Θ=[Θ1,Θ2,...,Θd]^T，我們想估計 f^(0)(Θ) 的期望值 μ0。
- MFMC（multi-fidelity Monte Carlo）estimator 包含 k+1 個模型，f^(0) high-fidelity，f^(1) ... f^(k) low-fidelity。
- low-fidelity model 的精度 ρ：用 f^(j) 對 f^(0) 的 Pearson correlation coefficient 來定義：\(\rho_j = Cov[f^{(0)}, f^{(j)}]/σ_0σ_j\)，其中 σ 是方差（variance）。設定 ρ_k+1 = 0。
- models 的評估成本：w1, w2, ..., wk＞0。歸一化 high-fidelity f^(0) 的評估成本 w0 = 1。
- 假設模型們滿足排序：精度：1 = |ρ0|＞|ρ1|＞…＞|ρk|；評估成本：\(w_{j-1}/w_{j}\gt[ρ^2_{j-1}-ρ^2_j]/[ρ^2_{j}-ρ^2_{j+1}]\)。
- 設 m_j 為 model f^(j) 的評估次數，0 ≤ m0 ≤ m1 ≤ … ≤ m_k。每一次評估都從獨立同分布（iid）的分佈 \(\pi\) 裡抽樣。
- 於是 MFMC estimator 形式：\(\hat E^{MFMC} = \hat E_{m_0}^{(0)}+\sum_{j=1}^k\alpha_j(\hat E_{m_j}^{(j)}-\hat E_{m_{j-1}}^{(j)})\)，其中 $\hat E_{m_j}^{(j)}=\frac 1 {m_0}f^{(0)}(\boldsymbol\theta_i) $ 即 f(θ) 的均值。
- 總 computational cost： \(p=\sum_{j=0}^km_jw_j\)。
- 我們把 p 固定（budget），去找最優的 \(m_0^*, \cdots, m_k^*\) 以及 \(\alpha_0^*, \cdots, \alpha_k^*\)，來讓 \(\hat E^{MFMC}\) 的方差最小。
- \(\hat E^{MFMC}\) 的 MSE = \(\frac {\sigma_0^2}p\bigg(\sum_{j=0}^k\sqrt{w_j(\rho_j^2-\rho_{j+1}^2)}\bigg)^2\)。
- 其實是有閉式解的，見 [14]。
2.2 前情提要：context-aware bi-fidelity Monte Carlo estimator
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他們之前做的 context-aware bi-fidelity MC estimator 的工作是 [2]。
- 改了一下 notation： low-fidelity model \(f_n^{(1)}\) 表示訓 f^(1) 需要用 high-fidelity f^(0) 的 n 個樣本。
- 假設所有 low-fidelity model 都是用相同的 NN 來訓，唯一不同的是訓練樣本數量，那麼 Pearson 係數 ρ1 和評估成本 w1 都取決於 n。
- 【這是假設 assumption】Pearson 係數的 bound：\(1-\rho_1^2(n)\le c_1n^{-\alpha}\)；評估成本的 bound：\(w_1(n)\le c_2n^\beta\)；其中 c1 c2 α＞0 β＞0 都是常數。
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我們的 budget 是 p。如果用 n 個樣本訓練 f^(1)，那麼還有 p-n 的預算用於 f^(1) 的評估。
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context-aware bi-fidelity MC estimator： \(\hat E_n^{CA-MFMC}=\hat E_{m_0^*}^{(0)}+\alpha_1^*(E_{m_1^*}^{(1)}-E_{m_0^*}^{(1)})\) ，決策變數為 \(m_0^*, m_1^*, α_1^*\) ，目標函式為最小化 \(\hat E_n^{CA-MFMC}\) 的 MSE。
- \(\hat E_n^{\rm CA-MFMC}\) 的 MSE = \(\frac{\sigma_0^2}{p-n}\bigg(\sqrt{1-\rho_1^2(n)}+\sqrt{w_1(n)\rho_1^2(n)}\bigg)^2\) （公式 2.6）。
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如果預算 p 是固定的，n 可以透過最小化 MSE 的上界來選擇。
- 上界： \(\rm {MSE}(\hat E_n^{CA-MFMC})\le\frac{2\sigma_0^2}{p-n}(c_1n^{-\alpha}+c_2n^\beta)\) 。
- 工作 [2] 表明，在某些假設下，給定一個 p，存在一個唯一的 n∗，最小化(2.6)；然而，n∗ 沒有閉式解，只能數值尋找。
- 最佳的 n∗ 是獨立於預算 p 的。
3 method
3.1 一些關於 multi-fidelity models 的假設
- 假設 1：存在 \(c_{a,j}\ge0\)，函式 \(r_{a,j}(n_j)\) 值為正數、對 n_j 單調遞減、二次可微。限制精度（Pearson 係數）： \(1-ρ_j^2(n_j)\le c_{a,j}r_{a,j}(n_j)\)。
- 假設 2：存在 \(c_{c,j}\ge0\)，函式 \(r_{c,j}(n_j)\) 值為正數、對 n_j 單調遞增、二次可微。限制評估成本： \(w_j(n_j)\le c_{c,j}r_{c,j}(n_j)\)。
- 貌似，假設兩個 r 函式為： \(r_{a,j}=n^{-\alpha},r_{c,j}=n^\alpha,\alpha\gt0\) 。
- 一個備註：事實上，如果一組資料拿去訓 f^(i)，那麼也有可能可以拿去訓 f^(j)；不過，更有可能的一種情況是，兩個模型結構不一樣，需要的訓練資料結構也不一樣，所以不能重用，所以，下文都不考慮樣本的重用。
3.2 只用一個 low-fidelity 模型：[2] 基礎上的改進
- 首先，放縮 \(\rm MSE(\hat E_n^{CA-MFMC})\le\frac{2\sigma_0^2}{p-n}(c_{a,1}r_{a,1}(n_1)+c_{c,1}r_{c,1}(n_1))\)，將它記為 u1。接下來，我們關心這個 upper bound 何時存在唯一的全域性最小值。
- PS：證明直接看原文吧，本科高數難度。
- 命題 1 ：u1 何時存在唯一的全域性最小值：
- 假設滿足 \(c_{a,1}r''_{a,1}(n_1)+c_{c,1}r''_{c,1}(n_1)\gt0\)【公式 (3.6)】。那麼，u1 具有唯一的全域性最小值 \(n_1^*\in[1,p-1]\)。
- 命題 2 ：假設對於所有 \(n_1\in(0,\infty)\) 滿足 公式 (3.6)，
- 並且存在一個 \(\bar n_1\in(0,\infty)\) 使得 \(c_{a,1}r_{a,1}(\bar n_1)+c_{c,1}r'_{c,1}(\bar n_1)=0\)。那麼 \(\bar n_1\) 是唯一的，並且 \(n_1^*\le\max\{1,\bar n_1\}\)。
3.3 context-aware multi-fidelity MC sampling
一種 sequential 訓練方法，來為 CA-MFMC estimator 擬合 hierarchies of low-fidelity models，其中每一步都實現了 training 和 sampling 之間的 optimal trade-off。
我主要關心 context-aware 是什麼東西。
- 引理 1：在假設 1 假設 2 下，CA-MFMC estimator 的 MSE 的 upper bound：
- \(\rm MSE(\hat E_{n_1,\cdots,n_k}^{CA-MFMC}) \le \frac{(k+1)\sigma_0^2}{p_{k-1}-n_k}(\kappa_{k-1}+\hat c_{a,k}r_{a,k}(n_k)+c_{c,k}r_{c,k}(n_k))\) 。
- 其中 \(p_{k-1}=p-\sum_{j=1}^{k-1}n_j,~~p_0=p\) ，
- \(\kappa_{k-1}=c_{a,1}r_{a,1}(n_1)+\sum_{j=1}^{k-2}c_{c,j}r_{c,j}(n_j)c_{a,j+1}r_{a,j+1}(n_{j+1}),~~\kappa_0=0\) ，
- \(\hat c_{a,k} = c_{c,k-1}r_{c,k-1}(n_{k-1})c_{a,k},~~\hat c_{a,1} =c_{a,1}\) 。
- （重申：n 是訓 low-fidelity model 的樣本數量）
- 證明：直接用一個 平方和不等式 展開。
- 看這個 upper bound 括號內加和的部分，\(\hat c_{a,k}\) 和 \(κ_{k-1}\) 都僅依賴於 \(n_1, \cdots,n_{k-1}\)，而 \(r_{a,k}(n_k),~r_{ck}(n_k)\) 僅依賴於 n_k。這啟發了一種 sequentially 向 CA-MFMC estimator 新增 low-fidelity model 的做法。
- 給定 \(n_1, \cdots,n_{k-1}\)，尋找 \(n_k\)，使得 \(u_j(n_j;n_1, \cdots,n_{k-1}):[1,p_{j-1}-1]\rightarrow(0,\infty)\)，\(u_j(n_j;n_1, \cdots,n_{k-1})=\frac1{p_{j-1}-n_j}(\kappa_{j-1}+\hat c_{a,j}r_{a,j}(n_j)+c_{c,k}r_{c,k}(n_j))\)。
- 命題 3：使用命題 1，即 \(n_1^*\) 是 u1 的全域性最小值。現在去考慮 j = 2,3,...,k。
- 若 \(\hat{c}_{a, j} r_{a, j}^{\prime \prime}\left(n_j\right)+c_{c, j} r_{c, j}^{\prime \prime}\left(n_j\right)>0\)，則存在 u_j 的全域性最小值 \(n_j^* \in\left[1, p_{j-1}-1\right]\)。
- 證明好像跟命題 1 同理。
- 命題 4：使用命題 1，即 \(n_j^*\) 是 u_j 的全域性最小值。
- 若存在 \(\bar{n}_j \in(0, \infty)\) 使得 \(\hat{c}_{a, j} r_{a, j}^{\prime}\left(\bar{n}_j\right)+c_{c, j} r_{c, j}^{\prime}\left(\bar{n}_j\right)=0\)，則有 \(n_j^* \leq \bar{n}_j\)，即 \(n_j^*\) 的一個 upper bound。
- 繼續跟命題 2 同理，歸納法。
- 一個備註：models 的 hierarchy 必須滿足評估次數 m 遞減（2.1）。
啊…… 這就結束了？感覺看了一肚子數學…
4 experiment
圖挺好看的。
要趕著看 MFRL 了，不細看了。