零知識證明
互動式證明系統由兩方參與，分別為證明者（Prover）和驗證者 （Verifier）。證明者掌握某一秘密，證明者需要讓驗證者相信自己掌握該秘密。
互動式證明過程需要多輪，最典型的是每一輪驗證者向證明者傳送一個詢問資訊（挑戰，Challenge），證明者對詢問資訊進行計算，並回覆資訊響應（Response）。
驗證者根據證明者每一輪的回覆資訊決定是否相信證明者。在互動式證明系統中，通訊通道是必須的。互動式證明系統滿足：
完備性：如果證明者知道某一秘密，驗證者將接受證明的證明。
可靠性：如果證明者能以一定的機率使驗證者相信證明者的證明，則證明者知道相應的秘密。
零知識證明（Zero-Knowledge Proof），是指證明者在不讓驗證者掌握秘密資訊的前提下，使得驗證者確信自己確實掌握了這些資訊。驗證者除了知道證明者能證明某一事實外，不能得到其他任何資訊。
例如，Alice宣稱知道一個能夠對拋硬幣正反面的訣竅。Bob要驗證Alice的宣稱，只需要當著Alice的面拋硬幣。
Bob拋一次硬幣Alice能猜中結果的機率為1/2，連續拋兩次硬幣Alice都能猜中結果的機率為1/4，連續拋?次硬幣Alice都能猜中結果的機率為1/\( 2^? \)，當?足夠大時，就可以認為Alice全都正確猜中是不可能事件。
那麼如果Alice真的全都猜對了，Bob就可以相信Alice的宣稱。
另一個經典的例子是有一個簡單的迷宮：
C和D之間有一扇需要秘密口令才能開啟的門，證明者要向驗證者證明自己能夠開啟這扇門，又不想洩露秘密口令。可以採用如下所述的證明協議：
1. 驗證者在協議開始時停留在位置 A
2. 證明者一直走到迷宮內部的位置 C 或者位置 D 處
3. 在證明者消失之後，驗證者走到位置 B 處，然後命令證明者從某個出口處出來
4. 證明者根據驗證者的命令，從對應出口處出來
5. 證明者和驗證者重複以上過程?輪
只有證明者知道口令，每次驗證者要求證明者從指定路口出來時，證明者才能根據命令開啟門穿過去或者原路返回，從指定路口出來。
如果證明者不知道開啟門的秘密口令，則證明者只能原路返回。因此不知道口令的證明者只能在一開始猜測驗證者要求的路口，並從該路口進入，一輪猜對的機率是1/2，重複?輪後，證明者都能猜對機率為1/\( 2^? \)，重複的輪數?足夠多時，驗證者就可相信證明者擁有開啟門的秘密口令。
接下來介紹Schnorr零知識證明協議：
令? =<?>是?階群，?為大素數，證明者擁有秘密知識? ∈??，並公開系統公鑰\( ?=?^? \) 。
1. 證明者產生一個隨機數?∈??，計算\( ?=?^? \)併傳送給驗證者。
2. 驗證者Bob產生一個隨機數?∈{0,1}併傳送給證明者Alice。
3. 如果?=0，證明者計算?=?；如果?=1，證明者計算?=?+?。之後證明者將?傳送給驗證者。
4. 若?=0，證明者驗證??=?；如果?=1，證明者計算\( ?^?=?? \)。
公鑰\( ?=?^? \)，由於離散對數分解困難，因此無法直接根據\( ?^? \)計算出?。因為證明者根據?的值選擇傳送?+?或者?，若證明者不知道?的值，那麼當驗證者傳送?=1時，證明者無法發出正確的?=?+?，驗證者在驗證\( ?^?=?^{?+?}=?^?· ?^?=?·? \)時就會驗證失敗。
想象一個攻擊者Tom，他知道Bob之後產生的?為什麼值。則Tom可以任?(?)意構造?，若?=0則讓\( ?=?^? \)；若?=1則讓?=? 。即只要攻擊者知道Bob之後產生的?具體為什麼值，Tom都可構造一個?，使得Bob認為Tom知道?的值，雖然Tom其實並不知道?，只知道Bob會產生的?的值，即Bob並不知道?的任何資訊，所以無法區分出Alice和Tom。
位元承諾
位元承諾（Bit Commitment），最早在1995年由圖靈獎獲得者Blum首先提出。
位元承諾分為兩個階段，第一個階段為承諾階段，承諾者向驗證者承諾秘密值?，並向驗證者傳送對驗證者保密的秘密值?。
第二個階段是揭示階段，承諾者向驗證者揭示第一個階段承諾的確實是?，同時驗證者得知秘密值?的內容。也可以簡單理解成承諾階段，承諾方將一個訊息鎖進一個盒子裡，再將該訊息傳送給驗證方。
驗證階段，承諾方將盒子開啟，向驗證方展示盒子裡的內容，以證明自己確實將訊息鎖在盒子裡傳送給了驗證方。
接下來介紹一個基於強單向函式（雜湊函式）的承諾方案，將該強單向函式記為???ℎ(?)（滿足找出任意兩個?和?，使得?(?)=?(?)不可行；已知?(?)，無法求出?；任意兩個不同的?和?，無法區分出?(?)和?(?)哪個的原像是?）：
承諾階段：
1. Alice產生兩個隨機數\( ?_1,?_2 \)。
2. Alice將隨機數\( ?_1,?_2 \)與自己將要承諾的訊息M進行連線，記為\( ?_1,?_2,? \)。
3. Alice計算\( ?_1,?_2,? \)的雜湊值\( ?=???ℎ(?_1,?_2,?) \)，並將?和\( ?_1 \)傳送給Bob，作為Alice對訊息m的承諾。
揭示階段：
1. Alice將\( ?_1,?_2,? \)告知Bob
2. Bob 計算\( ?_1,?_2,? \)的雜湊值?′，並將?′的值與?進行比較，如果匹配，則承諾有效。
由於Hash的抗一次原像性(preimage resistance)，Bob無法根據???ℎ(?1,?2,?)計算出?，保證了計算意義上的隱藏性，Bob的計算力無法計算出?。
若Hash滿足對於任意?，函式\( ℎ_?(?_1,?_2) = ???ℎ(?_1,?_2,?) \)都是規則的(即每個像的原像個數都相同)，那麼\( ???ℎ(?_1,?_2,?) \)在資訊理論意義上隱藏了?，因為?的取值與\( ???ℎ(?_1,?_2,?) \)是獨立的，即對於任意?!=?′，任意取值?都滿足
\( ??[???ℎ(?_1,?_2,?)=?]=??[???ℎ(?_1,?_2,?′) = ?] \)
通俗的說，Bob即使有無限的計算力，計算出滿足\( ???ℎ(?)=???ℎ(?_1,?_2,?) \)的所有?的集合?，?中任意一個元素是(\( ?_1,?_2,? \))的機率也都相同，Bob猜對的機率只有1/|?|。
在實際中，我們通常可假設Hash(*)是一個隨機預言機(random oracle)，且\( ?_1 \)和\( ?_2 \)足夠長，保證ℎ?是接近規則的，在統計意義上隱藏了?的資訊。