三方複製秘密共享（二）
上次科普介紹了在布林電路下的三方複製秘密共享方案，這次科普介紹把它擴充套件到環 \( 2^n \) 下的方式。
首先是在環\( 2^n \)下生成三個隨機數 \( ?_1,?_2,?_3 \) ，並且滿足 \( ?_1+?_2+?_3=0 \) 。上次科普已經介紹過滿足條件 \( ?_1⊕?_2⊕?_3=0 \) 的隨機數生成方式，滿足條件滿足 \( ?_1+?_2+?_3=0 \) 的只需對上次的方式進行一些小更改：
Alice、Bob、Candy分別生成隨機數?1,?2,?3，Alice將?1傳送給Bob，Bob將?2傳送給Candy，Candy將?3傳送給Alice。接著Alice計算?1=?1−?3，Bob計算?2=?2−?1，Candy計算?3=?3−?2。
顯然，\( ?_1+?_2+?_3 \)= ?1−?3+?2−?1+?3−?2=0。
--三方產生滿足?1+?2+?3=0的隨機數--
假設秘密為?, ?，則\( ?_1=?_3−?，?_2=?_1−?，?_3=?_2−?；?_1=?_3−?，?_2=?_1−?，?_3=?_2−? \)。Alice持有\( (?_1,?_1), (?_1,?_1) \)，Bob持有\( (?_2,?_2), (?_2,?_2) \)，Candy持有\( (?_3, ?_3), (?_3, ?_3) \)。
加法的實現方式為：布林電路上的加法原理相同，Alice、Bob和Candy在模下直接本地計算\( ?_?+?_? \)即可。如Alice計算
\( ?_1=?_1+?_1=?_3−?+?_3−?=(?_3+?_3)−(?+?)，?_1=?_1+?_1 \)。同理Bob計算\( ?_2=?_2+?_2=?_1−?+?_1−?=(?_1+?_1)−(?+?)，?_2=?_2+?_2 \)；Candy計算
\( ?_3=(?_3+?_3)=?_2−?+?_2−?=(?_2+?_2)−(?+?)，?_3=?_3+?_3 \)。可以驗證：
--三方加法實現方式--
乘法的實現方式為：
Alice、Bob和Candy利用上述的隨機數生成方式，生成滿足?+?+?=0，條件隨機數?, ?, ?。Alice計算\( r_{1}=\frac{x_{1} y_{1}-a_{1} b_{1}+\alpha}{3} \)，並且把?1傳送給Bob；Bob計算\( r_{2}=\frac{x_{2} y_{2}-a_{2} b_{2}+\beta}{3} \)，並且把?2傳送給Candy；Candy計算\( r_{3}=\frac{x_{3} y_{3}-a_{3} b_{3}+\gamma}{3} \)，並且把?3傳送給Alice。
Alice讓\( ?_1=−2?_3−?_1，?1=?_3−?_1 \)；
Bob讓\( ?_2=−2?_1−?_2，?2=?_1−?_2 \)；
Candy讓\( ?_3=−2?_2−?_3，?_3=?_2−?_3 \)。
顯然：\( ?_1+?_2+?_3=?_3−?_1+?_1−?_2+?_2−?_3=0 \)，可以驗證：
因此有：
同理可推匯出，\( ?_2=?_1−??，?_3=?_2−?? \)，正確性得證
--三方乘法實現方式--