題目描述
給定一棵有\(n\)個節點的樹，根節點為\(1\)，節點\(i\)有權值\(w[i]\)。這棵樹非常奇怪，它的每個葉子結點都有一條連向根節點的權值為\(0\)的邊。給定\(q\)次詢問，每次給定\(u,v\)，請計算出一條\(u\)到\(v\)的路徑（每條邊最多經過\(1\)次），最小化該路徑上的點權之和，並在其基礎上最大化該路徑上的最大點權。
輸入的第\(1\)行\(2\)個整數表示\(n\)和\(q\)；第\(2\)行有\(n-1\)個正整數，第\(i\)個正整數表示節點\(i+1\)的父節點是\(i\)；第\(3\)行\(n\)個整數，第\(i\)個整數表示\(w[i]\)；接下來\(q\)行，每行\(2\)個整數\(u,v\)，表示一次查詢。
輸出\(1\)行\(2\)個整數，表示點權和與最大點權。
- \(1\le n,q\le 10^5\)
- \(0\le w[i]\le 10^9\)。
Sample #1
Input:
5 1
1 2 3 4
413 127 263 869 960
Output:
1373 960
解題思路
下面所說的“樹上”均之未新增特殊邊的樹上，“距離”均指路徑的點權和。
我們分類討論，答案顯然可以分為下面\(4\)種：
- \(u\)和\(v\)經樹上的最短路徑，在\(lca(u,v)\)處相遇。
- \(u\)從最近的葉子結點到根節點，\(v\)透過樹上路徑到根節點，在根節點相遇。
- \(u\)透過樹上路徑到根節點，\(v\)從最近的葉子結點到根節點，在根節點相遇。
- \(u,v\)都透過最近的葉子節點到根節點，在根節點相遇。
雖然上面的部分情況可能走重複邊，但這樣它就一定不是最優答案了，所以不影響。
所以我們要處理的是：
- \(u\)到\(v\)在樹上的距離和路徑上最大點權。
- \(u\)到最近葉子節點的距離和路徑上最大點權。
前者可以直接用倍增求LCA來實現。而後者可以透過\(2\)次dfs來實現：
- 用結構體變數
leaf[u]來表示\(u\)到最近葉子節點的資訊（距離\(x\)和最大點權\(y\)）。 - 對於葉子結點，初始令
leaf[u]={w[u],w[u]}；
對於其他節點，初始令leaf[u]={+inf,w[u]}。 - 第\(1\)次dfs，自下而上更新\(leaf\)，即\(leaf[u]\)僅考慮了\(u\)子樹中的葉子結點。
搜尋完子節點\(i\)後，leaf[u]=upd(leaf[u],{leaf[i].x+w[u],leaf[i].y})。 - 第\(2\)次dfs，自上而下再更新一次\(leaf\)，完成\(leaf\)的計算。
搜尋子節點\(i\)之前，leaf[i]=upd(leaf[i],{leaf[u].x+w[i],leaf[u].y})。 - 其中
upd()是用於更新答案的，根據定義執行即可：\(x\)不同取最小，\(x\)相同\(y\)取最大。
這樣就完成了，對於每次查詢更新\(4\)次答案即可，答案和LCA函式也用相同的結構體型別來儲存即可，具體見程式碼。
時間複雜度\(O((n+q)\log n)\)。
Code
點選檢視程式碼
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define N 100010
#define Q 100010
using namespace std;
struct res{int x,y;}leaf[N];
void update(res& a,res b){
if(b.x<a.x) a=b;
else if(b.y==a.y) a.y=max(a.y,b.y);
}
int n,q,w[N],dep[N],fa[N][20],maxx[N][20],d[N];
vector<int> G[N];
void dfs1(int u){//計算d,dep，並自下而上更新leaf
dep[u]=dep[fa[u][0]]+1;
if(G[u].empty()) leaf[u]={w[u],w[u]};
else leaf[u]={LLONG_MAX,w[u]};
for(int i:G[u]){
d[i]+=d[u];
dfs1(i);
update(leaf[u],{leaf[i].x+w[u],leaf[i].y});
}
}
void dfs2(int u){//自上而下再更新一次leaf，完成leaf的計算
for(int i:G[u]){
update(leaf[i],{leaf[u].x+w[i],leaf[u].y});
dfs2(i);
}
}
res LCA(int u,int v){//返回{距離,最大點權}
if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
int tmax=max(w[u],w[v]),tdis=d[u]+d[v];
for(int i=19;i>=0;i--)
if(dep[fa[u][i]]>=dep[v])
tmax=max(tmax,maxx[u][i]),
u=fa[u][i];
if(u==v) return {tdis-d[u]-d[fa[u][0]],tmax};
for(int i=19;i>=0;i--)
if(fa[u][i]!=fa[v][i])
tmax=max(tmax,max(maxx[u][i],maxx[v][i])),
u=fa[u][i],v=fa[v][i];
int lca=fa[u][0];
tmax=max(tmax,max(maxx[u][1],maxx[v][1]));
return {tdis-d[lca]-d[fa[lca][0]],tmax};
}
signed main(){
cin>>n>>q;
for(int i=2;i<=n;i++){
cin>>fa[i][0];
G[fa[i][0]].emplace_back(i);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>w[i];
d[i]=maxx[i][0]=w[i];
}
dfs1(1),dfs2(1);
for(int j=1;j<=19;j++){
for(int i=1;i<=n;i++){
fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
maxx[i][j]=max(maxx[i][j-1],maxx[fa[i][j-1]][j-1]);
}
}
while(q--){
int u,v;
cin>>u>>v;
res ans=LCA(u,v);//1. u,v在LCA相遇
update(ans,{leaf[u].x+d[v],max(leaf[u].y,maxx[v][19])});//2. u去葉子v去根
update(ans,{leaf[v].x+d[u],max(leaf[v].y,maxx[u][19])});//3. v去葉子u去根
update(ans,{leaf[u].x+leaf[v].x+w[1],max(max(leaf[u].y,leaf[v].y),w[1])});//4. u,v都去葉子
cout<<ans.x<<" "<<ans.y<<"\n";
}
return 0;
}
變數含義說明：
- \(d[u]\)：\(u\)到根節點的距離。
- \(maxx[u][i]\)：\(u\)向上\(2^i\)個節點（包括\(u\)）的最大權值。
再放一份\(maxx[u][i]\)表示“\(u\)向上\(2^i\)個節點（不包括\(u\)）的最大權值”的程式碼：
點選檢視程式碼
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define N 100010
#define Q 100010
using namespace std;
struct res{int x,y;}leaf[N];
void update(res& a,res b){
if(b.x<a.x) a=b;
else if(b.y==a.y) a.y=max(a.y,b.y);
}
int n,q,w[N],dep[N],fa[N][20],maxx[N][20],d[N];
vector<int> G[N];
void dfs1(int u){//計算d,dep，並自下而上更新leaf
dep[u]=dep[fa[u][0]]+1;
if(G[u].empty()) leaf[u]={w[u],w[u]};
else leaf[u]={LLONG_MAX,w[u]};
for(int i:G[u]){
d[i]+=d[u];
dfs1(i);
update(leaf[u],{leaf[i].x+w[u],leaf[i].y});
}
}
void dfs2(int u){//自上而下再更新一次leaf，完成leaf的計算
for(int i:G[u]){
update(leaf[i],{leaf[u].x+w[i],leaf[u].y});
dfs2(i);
}
}
res LCA(int u,int v){//返回{距離,最大點權}
if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
int tmax=max(w[u],w[v]),tdis=d[u]+d[v];
for(int i=19;i>=0;i--)
if(dep[fa[u][i]]>=dep[v])
tmax=max(tmax,maxx[u][i]),
u=fa[u][i];
if(u==v) return {tdis-d[u]-d[fa[u][0]],tmax};
for(int i=19;i>=0;i--)
if(fa[u][i]!=fa[v][i])
tmax=max(tmax,max(maxx[u][i],maxx[v][i])),
u=fa[u][i],v=fa[v][i];
int lca=fa[u][0];
tmax=max(tmax,w[lca]);
return {tdis-d[lca]-d[fa[lca][0]],tmax};
}
signed main(){
cin>>n>>q;
for(int i=2;i<=n;i++){
cin>>fa[i][0];
G[fa[i][0]].emplace_back(i);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>w[i];
d[i]=w[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++) maxx[i][0]=w[fa[i][0]];
dfs1(1),dfs2(1);
for(int j=1;j<=19;j++){
for(int i=1;i<=n;i++){
fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
maxx[i][j]=max(maxx[i][j-1],maxx[fa[i][j-1]][j-1]);
}
}
while(q--){
int u,v;
cin>>u>>v;
res ans=LCA(u,v);//1. u,v在LCA相遇
update(ans,{leaf[u].x+d[v],max(leaf[u].y,max(maxx[v][19],w[v]))});//2. u去葉子v去根
update(ans,{leaf[v].x+d[u],max(leaf[v].y,max(maxx[u][19],w[u]))});//3. v去葉子u去根
update(ans,{leaf[u].x+leaf[v].x+w[1],max(max(leaf[u].y,leaf[v].y),w[1])});//4. u,v都去葉子
cout<<ans.x<<" "<<ans.y<<"\n";
}
return 0;
}