CSP 聯訓 2

覺得模擬賽題解還是單獨放出來比較好。

A.擠壓

好像不難？二進位制表示下的平方展開沒推出來，不然就成簡單題了。

首先我們需要知道對於一個數 \(x\)，把它拆成 29 位的二進位制形式後，用 \(s_i\) 表示二進位制下第 \(i\) 位上的數，那麼其實這個數就是 \((\overline{s_{29} s_{28}...s_1 s_0})_2\)，那麼有

\[\begin{aligned} (\overline{s_{29} s_{28}...s_1 s_0})^2&=(\sum_{i=0}^{29} s_i\times 2^i)^2 \\ &=\sum_{i,j\in [0,29]} 2^{i+j} (if\ s_i=1\ and\ s_j=1)\end{aligned}\]

那麼可以知道只有二進位制下兩位數同時為 1 時才會對答案有貢獻，這樣我們就可以列舉二進位制下的兩位 \(i,j\)，在此基礎上迴圈整個序列設 \(f_{k,0/1,0/1}\) 表示前 \(k\) 個數的第 \(i,j\) 位選了奇/偶個的機率，最後計算上 \(f_{n,1,1}\) 對答案的貢獻即可。

注意第 \(k\) 個數選或不選的轉移有以下幾種情況：

• 二進位制下的這個數第 \(i,j\) 位都不為 1，那麼顯然它對答案，直接繼承就行；

• 第 \(i\) 位為 1 而 第 \(j\) 位不為 1，那麼若選這個數，則只有第 \(i\) 位的奇偶發生變化；反之同理；

• \(i,j\) 位都為 1，選這個數時，\(i,j\) 兩位上的奇偶都發生變化，以此為例：

\[\begin{aligned}f_{k,x,y} &=f_{k-1,x\oplus 1,y\oplus 1}\times p_k (選這個數的機率) \\ &+f_{k-1,x,y}\times q_k(不選這個數的機率) \end{aligned}\]

對於每一組 \(i,j\)，初始化 \(f_{0,0,0}=0\) 即可。

B.工地難題

字首和最佳化：設 \(f_i\) 表示最長連續 1 的個數 \(num\le i\) 的方案數，顯然對於最長連續 1 的個數恰好等於 \(i\) 的答案就是 \(f_i-f_{i-1}\)。

現在我們考慮如何求 \(f_i\)。我們可以將題目理解為插板的形式：放好了 \(n-m\) 個 0，那麼現在有 \(n-m+1\) 個位置可以插入 1，每個位置上都可以放 \([0,m]\) 個 1，問方案數。

設 \(x_j\) 表示第 \(j\) 個位置放了幾個 1，那麼求 \(f_i\) 其實就是求 \(\sum_{j=1}^{n-m+1} x_j=m\) 的非負整數解的個數。簡單容斥一下就好了。